Les lois continues

Exercice 4 - Exercice 1

1 min
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Un fabricant produit des pneus de deux catégories, la catégorie « pneu neige » et la catégorie « pneu classique ».
Sur chacun d'eux, on effectue des tests de qualité pour améliorer la sécurité.
On dispose des informations suivantes sur le stock de production :
  • Le stock contient 40%40\% de pneus neige ;
  • Parmi les pneus neige, 92%92\% ont réussi les tests de qualité ;
  • Parmi les pneus classiques, 96%96\% ont réussi les tests de qualité.

Un client choisit un pneu au hasard dans le stock de production. On note :
  • NN L'évènement : « Le pneu choisi est un pneu neige « ;
  • CC L'évènement : « Le pneu choisi est un pneu classique » ;
  • QQ L'évènement : « Le pneu choisi a réussi les tests de qualité »
Les parties AA, BB et CC peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
Question 1
Partie A

Illustrer la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

Correction
D'après l'énoncé, on en déduit l'arbre suivant.
Question 2

Calculer la probabilité de l'évènement NQN\cap Q et interpréter ce résultat par une phrase.

Correction
p(NQ)=p(N)×pN(Q)p\left(N\cap Q\right)=p\left(N\right)\times p_{N} \left(Q\right)
p(NQ)=0,4×0,92p\left(N\cap Q\right)=0,4\times 0,92
p(NQ)=0,368p\left(N\cap Q\right)=0,368

En prenant un pneu au hasard dans le stock, la probabilité de choisir un pneu neige qui a réussi les tests de qualité est de 0,3680,368.
Question 3

Montrer que p(Q)=0,944p\left(Q\right)=0,944.

Correction
Les évènements NN et CC forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
p(Q)=p(NQ)+p(CQ)p\left(Q\right)=p\left(N\cap Q\right)+p\left(C\cap Q\right)
p(Q)=p(NQ)+p(C)×pC(Q)p\left(Q\right)=p(N\cap Q)+p\left(C\right)\times p_{C} \left(Q\right)
p(Q)=0,368+0,6×0,96p\left(Q\right)=0,368+0,6\times 0,96
p(Q)=0,944p\left(Q\right)=0,944
Question 4

Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, quelle est la probabilité que ce pneu soit un pneu neige ?

Correction
On cherche pQ(N)p_{Q} \left(N\right).
Or, pQ(N)=p(NQ)p(Q)p_{Q} \left(N\right)=\frac{p\left(N\cap Q\right)}{p\left(Q\right)}
pQ(N)=0,3680,944p_{Q} \left(N\right)=\frac{0,368}{0,944}
pQ(N)0,390p_{Q} \left(N\right)\approx 0,390

Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, la probabilité que ce pneu soit un pneu neige est environ de 0,3900,390.
Question 5
Partie B
On appelle durée de vie d'un pneu la distance parcourue avant d'atteindre le témoin d'usure.
On note XX la variable aléatoire qui associe à chaque pneu classique sa durée de vie, exprimée en milliers de kilomètres.
On admet que la variable aléatoire XX suit la loi normale d'espérance μ=30\mu =30 et d'écart-type σ=8\sigma =8.

Quelle est la probabilité qu'un pneu classique ait une durée de vie inférieure à 25 milliers de kilomètres ?

Correction
On souhaite calculer p(X25)p(X\le 25).
Première méthode :
On sait que p(X25)=p(X30)p(25X30)=0,5p(25X30)p(X\le 25)=p(X\le 30)-p\left(25\le X\le 30\right)=0,5-p(25\le X\le 30).
En déterminant p(25X30)p(25\le X\le 30) avec la calculatrice, cela donne :
p(X25)0,266p(X\le 25)\approx 0,266
Deuxième méthode :
Il faut calculer ici p(X25)p(X\le 25)
Pour le calcul de p(X25)p(X\le 25)
Avec une Texas, on tape pour p(X25)p(X\le 25) NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep(1099-10^{99} , 2525 , 3030 , 88 ) puis taper sur enter et vous obtiendrez :
p(X25)0,266p(X\le 25)\approx 0,266

Avec une Casio Graph 35+, on tape pour P(X>5)P\left(X>5\right) :
Normal C.D
Lower : 1099-10^{99} Valeur Minimale
Upper : 2525 Valeur Maximale
σ\sigma : 88 Ecart type
μ\mu : 3030 Espérance

Puis taper sur EXE et vous obtiendrez
p(X25)0,266p(X\le 25)\approx 0,266
Question 6

Déterminer la valeur du nombre dd pour que, en probabilité, 20% des pneus classiques aient une durée de vie supérieure à dd kilomètres.

Correction
On cherche le réel dd vérifiant p(X>d)=0,2p(X>d)=0,2.
Or, p(X>d)=1p(Xd)p(X>d)=1-p\left(X\le d\right), donc p(X>d)=0,2p(X>d)=0,2, équivaut à p(Xd)=0,8p(X\le d)=0,8.
Pour le calcul de p(Xd)=0,8p(X\le d)=0,8 :
Avec une Texas, on tape pour p(Xd)=0,8p(X\le d)=0,8 InvNorm(valeur donné , espérance , écart type ) c'est-à-dire ici InvNorm( 0.80.8 , 3030 , 88 ) puis taper sur enter et vous obtiendrez :
d36,733d\approx 36,733

Pas besoin d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1\right)
Avec une Casio Graph 35+, on tape pour P(Xa)=0,88P\left(X\le a\right)=0,88
Normal inverse
Data : Variable
Tail : Left car c'est \le
Area : 0,80,8
σ\sigma : 88 Ecart type
μ\mu : 3030 Espérance

Puis taper sur EXE et vous obtiendrez
d36,733d\approx 36,733
Question 7
Partie C
Une enquête de satisfaction effectuée l'an dernier a révélé que 85%85\% des clients étaient satisfaits de la tenue de route des pneus du fabricant.
Ce dernier souhaite vérifier si le niveau de satisfaction a été le même cette année.
Pour cela, il décide d'interroger un échantillon de 900900 clients afin de conclure sur l'hypothèse d'un niveau de satisfaction maintenu.
Parmi les 900900 clients interrogés, 735735 sont satisfaits de la tenue de route.

Quelle va être la conclusion du directeur avec un niveau de confiance 0,950,95 ?
Détailler les calculs, la démarche et l'argumentation.

Correction
Posons n=900n=900 et p=0,85p=0,85.
Alors n30n\ge 30, np=900×0,85=7655np=900\times 0,85=765\ge 5 et n(1p)=900×0,15=1355n(1-p)=900\times 0,15=135\ge 5.
Les conditions sont respectées, on peut donc déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique.
Supposons que le taux de satisfaction reste le même que celui de l'année précédente.
En choisissant un échantillon aléatoire de 900 personnes parmi les clients, on a donc une probabilité de 95% d'avoir une fréquence, sur l'échantillon, de clients satisfaits appartenant à l'intervalle [p1,96p(1p)n;p+1,96p(1p)n]\left[p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \right]
Or, p1,96p(1p)n0,826p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \approx 0,826 (arrondi par défaut) et p+1,96p(1p)n0,874p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \approx 0,874 (arrondi par excès).
Sous l'hypothèse d'un taux de satisfaction maintenu, on obtient comme intervalle de fluctuation asymptotique pour la fréquence ce clients satisfaits sur un échantillon de 900 personnes l'intervalle [0,826;0,874]\left[0,826;0,874\right].
Sur l'échantillon, la fréquence observée de clients satisfaits est fobs=7359000,817f_{obs} =\frac{735}{900} \approx 0,817.
fobs[0,826;0,874].f_{obs} \notin \left[0,826;0,874\right].
On rejette donc, au seuil de 95%95\%, l'hypothèse d'un taux de satisfaction maintenu.