Les lois continues

Exercice 3 - Exercice 1

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Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir au millième.
Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l'industrie informatique.
Question 1
Partie A
On prélève au hasard 100100 clés dans la production de la journée pour vérification.
La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100100 clés.
On admet que la probabilité qu'une clé USB prélevée au hasard dans la production d'une journée soit défectueuse est égale à 0,0150,015.
On considère la variable aléatoire XX qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de clés défectueuses de ce prélèvement.

Justifier que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

Correction
Pour une clé, il n'y a que deux issues : elle est défectueuse, avec une probabilité p=0,015p=0,015, ou elle n'est pas défectueuse, avec la probabilité 1p1-p.
La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 clés.
On peut en déduire que la variable aléatoire XX qui donne le nombre de clés défectueuses dans le lot de 100 clés suit la loi binomiale de paramètres n=300n=300 et p=0,015p=0,015.
Question 2

Calculer les probabilités p(X=0)p(X=0) et p(X=1)p(X=1)

Correction
Pour le calcul de p(X=0)p(X=0)
Avec une Texas , on tape pour p(X=0)p(X=0) (cf. fiche Utiliser la loi binomiale avec une Texas)
2nd{}^{nd} - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k ) c'est-à-dire ici BinomFdp(300300, 0,00150,0015 , 00) puis taper sur enter et vous obtiendrez
P(X=0)0,221P\left(X=0\right)\approx 0,221
arrondi à 10310^{-3} près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp
Avec une casio graph 35 + ou modèle supérieur , on tape pour p(X=0)p(X=0) ( Cf fiche utiliser la loi binomiale avec une Casio )
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR. On remplit le tableau de la manière qui suit

D.P. Binomiale
Data Variable
xx : 00 Valeur de k
Numtrial : 300300 Valeur de nn
pp : 0,00150,0015 Valeur depp

puis taper sur EXE et vous obtiendrez
P(X=0)0,221P\left(X=0\right)\approx 0,221
arrondi à 10310^{-3} près.
Pour le calcul de p(X=1)p(X=1) on effectue le même raisonnement. On donne directement le résultat. Ainsi p(X=1)0,336p(X=1)\approx 0,336
Question 3

Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux clés soient défectueuses.

Correction
Au plus deux clés soient défectueuses correspond à l'événement X2X\le 2.
p(X2)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)0,221+0,336+0,2530,810.p\left(X\le 2\right)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)\approx 0,221+0,336+0,253\approx 0,810.
La probabilité qu'au plus deux clés soient défectueuses est environ 0,8100,810.
Question 4
Partie B
Une clé est dite conforme pour la lecture lorsque sa vitesse de lecture, exprimée en Mo/s, appartient à l'intervalle [98;103]\left[98;103\right].
Une clé est dite conforme pour l'écriture lorsque sa vitesse d'écriture exprimée en Mo/s appartient à l'intervalle [28;33]\left[28;33\right].

On note RR la variable aléatoire qui, à chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse de lecture.
On suppose que la variable aléatoire RR suit la loi normale d'espérance μ=100\mu =100 et d'écart-type σ=1\sigma =1
Calculer la probabilité qu'une clé soit conforme pour la lecture.

Correction
On note RR la variable aléatoire qui, à chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse de lecture.
On suppose que la variable aléatoire RR suit la loi normale d'espérance μ=100\mu =100 et d'écart-type σ=1\sigma =1
Une clé est conforme pour la lecture quand 98R10398\le R\le 103, sachant que la variable aléatoireR R suit la loi normale d'espérance μ=100\mu =100 et d'écart-type σ=1\sigma =1
La calculatrice donne
p(98X103)0,976p\left(98\le X\le 103\right)\approx 0,976
.
Question 5

On note WW la variable aléatoire qui, chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse d'écriture.
On suppose que la variable aléatoire WW suit une loi normale.
Le graphique ci-après représente la densité de probabilité de la variable aléatoire WW.

L'unité d'aire est choisie de façon à ce que l'aire sous la courbe soit égale à un et l'aire grisée est environ égale à 0,950,95 unité d'aire.
La droite d'équation x=30x=30 est un axe de symétrie de la courbe.
Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire WW.
Justifier.

Correction
La fonction densité d'une loi normale d'espérance μ\mu est représentée par une courbe en cloche dont l'axe de symétrie est la droite d'équation x=μx=\mu .
On sait que la droite d'équation x=30x=30 est axe de symétrie donc on peut en déduire que μ=30\mu =30.
Si XX suit une loi normale de paramètre μ\mu et σ\sigma alors :
  • P(μ2σXμ+2σ)=0,95P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)=0,95
  • D'après le texte, p(28W32)0,95p\left(28\le W\le 32\right)\approx 0,95 et on sait que μ=30\mu =30; donc 2σ=22\sigma =2 et donc σ=1\sigma =1.
    Question 6
    Partie C
    Dans cette partie, on considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de logiciels.
    On considère un échantillon de 100100 clés prélevées au hasard dans cette livraison.
    La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
    On constate que 9494 clés sont sans défaut.

    Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.

    Correction
    On constate que 94 clés sont sans défaut donc la fréquence de clés sans défaut dans cet échantillon est : f=94100=0,94f=\frac{94}{100} =0,94 .
    Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, est donné par : [f1n;f+1n]\left[f-\frac{1}{\sqrt{n} } ;f+\frac{1}{\sqrt{n} } \right]
    • f1n=0,940,1=0,84f-\frac{1}{\sqrt{n} } =0,94-0,1=0,84
    • f+1n=0,94+0,1=1,04f+\frac{1}{\sqrt{n} } =0,94+0,1=1,04, que l'on remplacera par 1 car une probabilité ne peut dépasser 1.
    L'intervalle de confiance est donc [0,84;1]\left[0,84;1\right].