Les lois continues

Exercice 3

Exercice 1

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir au millième.
Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l'industrie informatique.
Partie A
On prélève au hasard 100100 clés dans la production de la journée pour vérification.
La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100100 clés.
On admet que la probabilité qu'une clé USB prélevée au hasard dans la production d'une journée soit défectueuse est égale à 0,0150,015.
On considère la variable aléatoire XX qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de clés défectueuses de ce prélèvement.
1

Justifier que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

Correction
2

Calculer les probabilités p(X=0)p(X=0) et p(X=1)p(X=1)

Correction
3

Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux clés soient défectueuses.

Correction
Partie B
Une clé est dite conforme pour la lecture lorsque sa vitesse de lecture, exprimée en Mo/s, appartient à l'intervalle [98;103]\left[98;103\right].
Une clé est dite conforme pour l'écriture lorsque sa vitesse d'écriture exprimée en Mo/s appartient à l'intervalle [28;33]\left[28;33\right].
4

On note RR la variable aléatoire qui, à chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse de lecture.
On suppose que la variable aléatoire RR suit la loi normale d'espérance μ=100\mu =100 et d'écart-type σ=1\sigma =1
Calculer la probabilité qu'une clé soit conforme pour la lecture.

Correction
5

On note WW la variable aléatoire qui, chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse d'écriture.
On suppose que la variable aléatoire WW suit une loi normale.
Le graphique ci-après représente la densité de probabilité de la variable aléatoire WW.

L'unité d'aire est choisie de façon à ce que l'aire sous la courbe soit égale à un et l'aire grisée est environ égale à 0,950,95 unité d'aire.
La droite d'équation x=30x=30 est un axe de symétrie de la courbe.
Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire WW.
Justifier.

Correction
Partie C
Dans cette partie, on considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de logiciels.
On considère un échantillon de 100100 clés prélevées au hasard dans cette livraison.
La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
On constate que 9494 clés sont sans défaut.
6

Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.

Correction
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