La fonction logarithme

QCM

Exercice 1

On considère la fonction ff définie sur l’intervalle [0,5;5]\left[0,5; 5\right] par : f(x)=5+5ln(x)xf\left(x\right)=\frac{5+5\ln \left(x\right)}{x}.
Sa représentation graphique est la courbe C\mathscr{C} donnée ci-dessous dans un repère d’origine OO. On admet que le point AA placé sur le graphique est le seul point d’inflexion de la courbe C\mathscr{C} sur l’intervalle [0,5;5]\left[0,5; 5\right]. On note BB le point de cette courbe d’abscisse ee. On admet que la fonction ff est deux fois dérivable sur cet intervalle. On rappelle que ff' désigne la fonction dérivée dela fonction ff et ff'' sa fonction dérivée seconde.
On admet que pour tout xx de l’intervalle [0,5;5]\left[0,5; 5\right] on a : f(x)=5ln(x)x2f'\left(x\right)=\frac{-5\ln \left(x\right)}{x^{2} } et f(x)=10ln(x)5x3f''\left(x\right)=\frac{10\ln \left(x\right)-5}{x^{3} }
1

La fonction ff' est :
  • positive ou nulle sur l’intervalle [0,5;5]\left[0,5; 5\right]
  • négative ou nulle sur l’intervalle [1;5]\left[1; 5\right]
  • négative ou nulle sur l’intervalle [0,5;1]\left[0,5; 1\right]

Correction
2

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C\mathscr{C} au point BB est égal à :
  • 5e2\frac{-5}{e^{2} }
  • 10e\frac{10}{e}
  • 5e3\frac{5}{e^{3} }

Correction
3

La fonction ff' est :
  • croissante sur l’intervalle [0,5;1]\left[0,5; 1\right]
  • décroissante sur l’intervalle [1;5]\left[1; 5\right]
  • croissante sur l’intervalle [2;5]\left[2; 5\right]

Correction
4

La valeur exacte de l’abscisse du point AA de la courbe C\mathscr{C} est égale à :
  • 1,651,65
  • 1,61,6
  • e0,5e^{0,5}

Correction
5

On note AA l’aire, mesurée en unités d’aire, du domaine plan délimité par la courbe C\mathscr{C} , l’axe des abscisses et les droites d’équation x=1x = 1 et x=4x = 4. Cette aire vérifie :
  • 20A3020\le A\le 30
  • 10A1510\le A\le 15
  • 5A85\le A\le 8

Correction

Exercice 2

On considère la fonction ff définie sur l’intervalle ]0;3]\left]0; 3\right] par f(x)=x2(1ln(x))f\left(x\right)=x^{2} \left(1-\ln \left(x\right)\right)
On donne ci-dessous sa courbe représentative C\mathscr{C}.
On admet que ff est deux fois dérivable sur ]0;3]\left]0; 3\right], on note ff' sa fonction dérivée et on admet que sa dérivée seconde ff'' est définie sur ]0;3]\left]0; 3\right] par : f(x)=12ln(x)f''\left(x\right)=-1-2\ln \left(x\right)
1

Sur ]0;3]\left]0; 3\right], C\mathscr{C} coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse :
  • ee
  • 00 et ee
  • 12e+1\frac{1}{2}e+1

Correction
2

C\mathscr{C} admet un point d’inflexion d’abscisse :
  • ee
  • 1e\frac{1}{\sqrt{e} }
  • e\sqrt{e}

Correction
3

Pour tout nombre réel xx de l’intervalle ]0;3]\left]0; 3\right] on a :
  • f(x)=x(12ln(x))f'\left(x\right)=x\left(1-2\ln \left(x\right)\right)
  • f(x)=2xf'\left(x\right)=-\frac{2}{x}
  • f(x)=2f'\left(x\right)=-2

Correction
4

Sur l'intervalle [1;3]\left[1; 3\right] :
  • ff est convexe
  • ff est décroissante
  • ff' est décroissante

Correction
5

Une équation de la tangente à C\mathscr{C} au point d’abscisse ee s’écrit :
  • y=x+ey=-x+e
  • y=exy=-ex
  • y=ex+e2y=-ex+e^{2}

Correction
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