La fonction logarithme

QCM - Exercice 1

20 min
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On considère la fonction ff définie sur l’intervalle [0,5;5]\left[0,5; 5\right] par : f(x)=5+5ln⁡(x)xf\left(x\right)=\frac{5+5\ln \left(x\right)}{x}.
Sa représentation graphique est la courbe C\mathscr{C} donnée ci-dessous dans un repère d’origine OO. On admet que le point AA placé sur le graphique est le seul point d’inflexion de la courbe C\mathscr{C} sur l’intervalle [0,5;5]\left[0,5; 5\right]. On note BB le point de cette courbe d’abscisse ee. On admet que la fonction ff est deux fois dérivable sur cet intervalle. On rappelle que f′f' désigne la fonction dérivée dela fonction ff et f′′f'' sa fonction dérivée seconde.
Question 1
On admet que pour tout xx de l’intervalle [0,5;5]\left[0,5; 5\right] on a : f′(x)=−5ln⁡(x)x2f'\left(x\right)=\frac{-5\ln \left(x\right)}{x^{2} } et f′′(x)=10ln⁡(x)−5x3f''\left(x\right)=\frac{10\ln \left(x\right)-5}{x^{3} }

La fonction f′f' est :
  • positive ou nulle sur l’intervalle [0,5;5]\left[0,5; 5\right]
  • négative ou nulle sur l’intervalle [1;5]\left[1; 5\right]
  • négative ou nulle sur l’intervalle [0,5;1]\left[0,5; 1\right]

Correction
La bonne réponse est bb.
Pour tout réel xx appartenant à [0,5;5]\left[0,5; 5\right], on vérifie aisément que x2>0x^{2}>0. Il en résulte donc que le signe de f′f' dépend de −5ln⁡(x)-5\ln \left(x\right).
−5ln⁡(x)≥0⇔ln⁡(x)≤0−5⇔ln⁡(x)≤0⇔ln⁡(x)≤ln⁡(1)⇔x≤1-5\ln \left(x\right)\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\le \frac{0}{-5} \Leftrightarrow \ln \left(x\right)\le 0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\le \ln \left(1\right)\Leftrightarrow x\le 1
Il en résulte donc que :
  • si x∈[0,5;1]x\in\left[0,5;1\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 .
  • si x∈[1;5]x\in\left[1;5\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 .
Nous dressons ci-dessous le signe de f′f'.
Question 2

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C\mathscr{C} au point BB est égal à :
  • −5e2\frac{-5}{e^{2} }
  • 10e\frac{10}{e}
  • 5e3\frac{5}{e^{3} }

Correction
La bonne réponse est aa.
On rappelle que l'abscisse du point BB est ee.
Pour déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe CC au point BB, il nous faut calculer f′(e)f'\left(e\right).
Nous savons que f′(x)=−5ln⁡(x)x2f'\left(x\right)=\frac{-5\ln \left(x\right)}{x^{2} }. Il vient alors que :
f′(e)=−5ln⁡(e)e2f'\left(e\right)=\frac{-5\ln \left(e\right)}{e^{2} }
f′(e)=−5e2f'\left(e\right)=\frac{-5}{e^{2} }
Question 3

La fonction f′f' est :
  • croissante sur l’intervalle [0,5;1]\left[0,5; 1\right]
  • décroissante sur l’intervalle [1;5]\left[1; 5\right]
  • croissante sur l’intervalle [2;5]\left[2; 5\right]

Correction
La bonne réponse est cc.
Il nous faut ici étudier le signe de f′′f'' qui nous permettra d'avoir les variations de f′f'.
Pour tout réel xx appartenant à [0,5;5]\left[0,5; 5\right], on vérifie aisément que x3>0x^{3}>0. Il en résulte donc que le signe de f′′f'' dépend de 10ln⁡(x)−510\ln \left(x\right)-5.
10ln⁡(x)−5≥0⇔10ln⁡(x)≥5⇔ln⁡(x)≥510⇔ln⁡(x)≥12⇔x≥e1210\ln \left(x\right)-5\ge 0\Leftrightarrow 10\ln \left(x\right)\ge 5\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge \frac{5}{10} \Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow x\ge e^{\frac{1}{2} }
Or e12≈1,64 e^{\frac{1}{2} }\approx1,64.
Il en résulte donc que :
  • si x∈[0,5;e12]x\in\left[0,5;e^{\frac{1}{2} }\right] alors f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le0 et donc la fonction f′f' est décroissante sur cet intervalle.
  • si x∈[e12;5]x\in\left[e^{\frac{1}{2} };5\right] alors f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge0 et donc la fonction f′f' est croissante sur cet intervalle.
Nous dressons le tableau de variation de f′f', ci-dessous :
Question 4

La valeur exacte de l’abscisse du point AA de la courbe C\mathscr{C} est égale à :
  • 1,651,65
  • 1,61,6
  • e0,5e^{0,5}

Correction
La bonne réponse est cc.
Le point AA ici correspond au point d'inflexion.
Il en résulte donc alors que : f′′(xA)=0f''\left(x_{A}\right)=0
f′′(xA)=0f''\left(x_{A}\right)=0 équivaut successivement à :
10ln⁡(xA)−5(xA)3=0\frac{10\ln \left(x_{A}\right)-5}{\left(x_{A}\right)^{3} }=0. Or ici, nous savons que xA∈[0,5;5]x_{A}\in\left[0,5; 5\right] et de ce fait xA>0x_{A}>0.
Il vient alors que :
10ln⁡(xA)−5(xA)3=0\frac{10\ln \left(x_{A}\right)-5}{\left(x_{A}\right)^{3} }=0 équivaut successivement à :
10ln⁡(xA)=510\ln \left(x_{A} \right)=5
ln⁡(xA)=510\ln \left(x_{A} \right)=\frac{5}{10}
ln⁡(xA)=12\ln \left(x_{A} \right)=\frac{1}{2}
eln⁡(xA)=e12e^{\ln \left(x_{A} \right)} =e^{\frac{1}{2} }
xA=e12x_{A} =e^{\frac{1}{2} }
Question 5

On note AA l’aire, mesurée en unités d’aire, du domaine plan délimité par la courbe C\mathscr{C} , l’axe des abscisses et les droites d’équation x=1x = 1 et x=4x = 4. Cette aire vérifie :
  • 20≤A≤3020\le A\le 30
  • 10≤A≤1510\le A\le 15
  • 5≤A≤85\le A\le 8

Correction
La fonction ff est positive sur [1;4]\left[1;4\right] donc l'intégrale AA est positive et est égale à l'aire sous la courbe et l'axe des abscisses et délimité par les droites verticales x=1x=1 et x=4x=4.
Il suffit de compter les nombres de carreaux sous la courbe et l'axe des abscisses et délimité par les droites verticales x=1x=1 et x=4x=4.
Il y a plus de dix carreaux mais moins de quinze carreaux.
D'où :
10≤A≤1510\le A\le 15