La fonction logarithme

Exercices types : applications à l'économie

Exercice 1

Une entreprise vend des voitures télécommandées. La vente mensuelle varie entre 10001000 et 50005000 voitures. Une étude montre que la recette mensuelle totale de l’entreprise est de 7070 000000 euros lorsqu’elle vend 10001000 voitures. On note r(x)r\left(x\right) la recette mensuelle réalisée par l’entreprise, exprimée en dizaine de milliers d’euros, pour la vente de xx milliers de voitures.
1

Donner r(1)r\left(1\right) .

Correction
On admet que, pour tout x[1;5]x \in \left[1 ; 5\right], la recette mensuelle est modélisée par: r(x)=6+x+2ln(x)r\left(x\right)=6+x+2\ln \left(x\right) .
2

Montrer que, pour tout x[1;5]x \in \left[1 ; 5\right], on a : r(x)=x+22r'\left(x\right)=\frac{x+2}{2} .

Correction
3

Étudier les variations de rr sur l’intervalle [1;5]\left[1 ; 5\right].

Correction
4

Justifier que l’équation r(x)=10r\left(x\right)=10 admet une unique solution α\alpha dans l’intervalle [1;5]\left[1 ; 5\right], puis donner une valeur approchée de α\alpha au millième.

Correction
5

Déterminer le nombre minimal de voitures télécommandées vendues à partir duquel l’entreprise réalise une recette supérieure à 100000100000 euros.

Correction
Soit gg la fonction définie pour tout x[1;5]x \in \left[1 ; 5\right] par g(x)=2ln(x)g\left(x\right)=2\ln \left(x\right).
6

Montrer que la fonction GG définie pour tout x[1;5]x \in \left[1 ; 5\right] par G(x)=2x(ln(x)1)G\left(x\right)=2x\left(\ln \left(x\right)-1\right) est une primitive de la fonction gg.

Correction
7

En déduire une primitive RR de la fonction rr sur l’intervalle [1;5]\left[1 ; 5\right].

Correction
8

Donner une valeur approchée à la dizaine d’euros de la valeur moyenne de la recette totale lorsque l’entreprise vend entre 20002000 et 40004000 voitures télécommandées.

Correction

Exercice 2

Soit ff la fonction définie sur l’intervalle [1;10]\left[1; 10\right] par : f(x)=x22x+3024ln(x)f\left(x\right)=x^{2}-2x+30-24\ln \left(x\right) .
Une entreprise fabrique des objets. Le coût unitaire (en euros) pour xx centaines d’objets produits est égal à f(x)f\left(x\right).
1

Montrer que, pour tout x[1;10]x \in \left[1; 10\right], on a : f(x)=2x22x24xf'\left(x\right)=\frac{2x^{2} -2x-24}{x} .

Correction
2

Étudier les variations de ff sur l’intervalle [1;10]\left[1; 10\right].

Correction
3

Pour combien d’objets produits, le coût de fabrication par objet est-il minimum? Donner la valeur arrondie au centime d’euros de ce coût minimum.

Correction
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