La fonction logarithme

Exercices types : 44ème partie - Exercice 1

15 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur x∈[1;20]x\in\left[1 ;20\right], par f(x)=(2−ln⁡(x))(3+4ln⁡(x))f\left(x\right)=\left(2-\ln \left(x\right)\right)\left(3+4\ln \left(x\right)\right) .
La courbe C\mathscr{C} est la représentation graphique de la fonction ff sur l’intervalle ]0;20]\left]0 ;20\right].

Montrer que f′(x)=5−8ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{5-8\ln \left(x\right)}{x} .

Correction
On reconnait la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)^{'} =u'v+uv' avec u(x)=2−ln⁡(x)u\left(x\right)=2-\ln \left(x\right) et v(x)=3+4ln⁡(x)v\left(x\right)=3+4\ln \left(x\right).
Ainsi : u′(x)=−1xu'\left(x\right)=-\frac{1}{x} et v′(x)=4xv'\left(x\right)=\frac{4}{x}.
Il vient alors que :
f′(x)=−1x×(3+4ln⁡(x))+(2−ln⁡(x))×4xf'\left(x\right)=-\frac{1}{x} \times \left(3+4\ln \left(x\right)\right)+\left(2-\ln \left(x\right)\right)\times \frac{4}{x}
f′(x)=−1x×3−1x×(4ln⁡(x))+2×4x−ln⁡(x)×4xf'\left(x\right)=-\frac{1}{x} \times 3-\frac{1}{x} \times \left(4\ln \left(x\right)\right)+2\times \frac{4}{x} -\ln \left(x\right)\times \frac{4}{x}
f′(x)=−3x−4ln⁡(x)x+8x−4ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{-3}{x} -\frac{4\ln \left(x\right)}{x} +\frac{8}{x} -\frac{4\ln \left(x\right)}{x}
f′(x)=−3−4ln⁡(x)+8−4ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{-3-4\ln \left(x\right)+8-4\ln \left(x\right)}{x}
f′(x)=5−8ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{5-8\ln \left(x\right)}{x}

Question 2

Dresser le tableau de variation de ff sur [1;20]\left[1 ;20\right]. On ne vous demande pas de compléter les valeurs dans le tableau.

Correction
Pour tout réel x∈[1;20]x\in\left[1 ;20\right], on vérifie aisément que x>0x>0. Donc le signe de f′f' dépend de 5−8ln⁡(x)5-8\ln \left(x\right).
Ainsi :
5−8ln⁡(x)≥05-8\ln \left(x\right)\ge0 équivaut successivement à :
−8ln⁡(x)≥−5-8\ln \left(x\right)\ge-5
ln⁡(x)≤58\ln \left(x\right)\le \frac{5}{8}
x≤e58x\le e^{\frac{5}{8} }.
Cela signifie que l'on mettra le signe ++ pour le signe de f′f' dès que x≤e58x\le e^{\frac{5}{8} } .
Nous allons maintenant dresser le tableau de variation de ff.
Question 3

Calculer la dérivée de f′f' que l'on note f′′f''.

Correction
Nous savons que f′(x)=5−8ln⁡(x)xf'\left(x\right)=\frac{5-8\ln \left(x\right)}{x}
On reconnait la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=5−8ln⁡(x)u\left(x\right)=5-8\ln \left(x\right) et v(x)=xv\left(x\right)=x.
Ainsi : u′(x)=−8xu'\left(x\right)=-\frac{8}{x} et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
Il vient alors que :
f′′(x)=−8x×x−(5−8ln⁡(x))×1x2f''\left(x\right)=\frac{-\frac{8}{x} \times x-\left(5-8\ln \left(x\right)\right)\times 1}{x^{2} }
f′′(x)=−8−5+8ln⁡(x)x2f''\left(x\right)=\frac{-8-5+8\ln \left(x\right)}{x^{2} }
Ainsi :
f′′(x)=−13+8ln⁡(x)x2f''\left(x\right)=\frac{-13+8\ln \left(x\right)}{x^{2} }

Question 4

Etudier la convexité de la fonction ff sur l'intervalle [1;20]\left[1 ;20\right] .

Correction
Pour étudier la convexité de la fonction ff, il faut étudier le signe de f′′f''.
  • Lorsque f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe.
  • Lorsque f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave.
Nous savons que f′′(x)=−13+8ln⁡(x)x2f''\left(x\right)=\frac{-13+8\ln \left(x\right)}{x^{2} }
Pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [1;20]\left[1 ;20\right] comme x2>0x^{2}>0 alors f′′f'' est du signe de −13+8ln⁡(x)-13+8\ln \left(x\right) .
Pour étudier son signe on résout l'inéquation −13+8ln⁡(x)≥0-13+8\ln \left(x\right)\ge 0, il vient alors :
−13+8ln⁡(x)≥0-13+8\ln \left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à :
8ln⁡(x)≥138\ln \left(x\right)\ge 13
ln⁡(x)≥138\ln \left(x\right)\ge \frac{13}{8}
x≥e138x\ge e^{\frac{13}{8} }
Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de f′′f'' lorsque xx sera supérieur ou égale à e138e^{\frac{13}{8} }.
Il en résulte :