Pour étudier la convexité de la fonction
f, il faut étudier le signe de
f′′.
- Lorsque f′′(x)≥0 sur un intervalle [a,b] alors f est convexe.
- Lorsque f′′(x)≤0 sur un intervalle [a,b] alors f est concave.
Nous savons que
f′′(x)=x2−13+8ln(x)Pour tout réel
x appartenant à l'intervalle
[1;20] comme
x2>0 alors
f′′ est du signe de
−13+8ln(x) .
Pour étudier son signe on résout l'inéquation
−13+8ln(x)≥0, il vient alors :
−13+8ln(x)≥0 équivaut successivement à :
8ln(x)≥13ln(x)≥813 x≥e813 Cela signifie que l'on va mettre le signe
+ dans la ligne de
f′′ lorsque
x sera supérieur ou égale à
e813.
Il en résulte :