La fonction logarithme

Exercices types : 11ère partie

Exercice 1

Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=x2+2x14lnxf\left(x\right)=x^{2}+2x-1-4\ln x . On note CfC_{f} la courbe représentative de la fonction ff.
1

Calculer f(x)f'\left(x\right).

Correction
2

Dresser le tableau de variation de ff.

Correction
3

En déduire le signe de ff.

Correction
4

Etudiez la convexité de ff.

Correction
5

Déterminer une équation de la tangente (T)\left(T\right) à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 22.

Correction

Exercice 2

Soit ff la fonction définie sur ]0;10]\left]0;10\right] par f(x)=xlnx+2x+1f\left(x\right)=-x\ln x+2x+1 . On note CfC_{f} la courbe représentative de la fonction ff.
1

Calculer f(x)f'\left(x\right).

Correction
2

Démontrer que la fonction ff admet un maximum sur l'intervalle ]0;10]\left]0;10\right].
Calculer la valeur exacte du maximum de la fonction ff sur ce même intervalle.

Correction
3

Montrer que la courbe CfC_{f} est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle ]0;10]\left]0;10\right].

Correction
On admet que la fonction FF définie par F(x)=x22lnx+54x2+x7F\left(x\right)=-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac{5}{4}x^{2}+x-7
est une primitive de la fonction ff sur l’intervalle ]0;10]\left]0;10\right].
4

Calculer la valeur exacte de I=12f(x)dxI=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx

Correction

Exercice 3

Soit la fonction gg définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par : g(x)=ln(x)+x1g\left(x\right)=\ln \left(x\right)+x-1. On note CgC_{g} la courbe représentative de la fonction gg.
1

Calculer les limites de gg aux bornes de son domaine de définition.

Correction
2

Calculer g(1)g\left(1\right) et en déduire le signe de gg sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction
Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=x1xln(x)f\left(x\right)=\frac{x-1}{x} \ln \left(x\right) . On note CfC_{f} la courbe représentative de la fonction ff.
3

Montrer que pour tout réel xx appartenant à ]0;+[\left]0;+\infty \right[ on a : f(x)=g(x)x2f'\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x^{2} }.

Correction
4

En déduire les variations de ff sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction

Exercice 4

PARTIE A
On considère la fonction gg définie sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par g(x)=22x22ln(x)g\left(x\right)=2-2x^{2}-2\ln \left(x\right).
1

Calculer la dérivée de la fonction gg et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction gg.

Correction
2

Calculer g(1)g\left(1\right). En déduire le signe de g(x)g\left(x\right) pour xx appartenant à l’intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[.

Correction
PARTIE B
Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=ln(x)xx+12f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x} -x+\frac{1}{2} . On note CfC_{f} sa courbe représentative dans un repère du plan.
3

Montrer, que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[, on a : f(x)=g(x)2x2f'\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{2x^{2}}.

Correction
4

Dresser le tableau de variation de ff.

Correction
5

Déterminer une équation de la tangente (T)\left(T\right) à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 11.

Correction
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