Exercice 8 - Exercice 1

Il faut comprendre, ici, qu'il faut étudier et dresser les variations de la fonction $$f$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left[\frac{1}{2};5\right]$$.
Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=-2x$$ ; $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$w\left(x\right)=3x-2$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-2$$ ; $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$w'\left(x\right)=3$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-2\times \ln \left(x\right)-2x\times \frac{1}{x} +3$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=-2\ln \left(x\right)-\frac{2x}{x}+3$$
$$f'\left(x\right)=-2\ln \left(x\right)-2+3$$

Maintenant, il nous faut étudier le signe de $$-2\ln \left(x\right)+1$$. Il vient :
$$-2\ln \left(x\right)+1\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-2\ln \left(x\right)\ge -1$$
$$\ln \left(x\right)\le \frac{-1}{-2}$$ (on divise par un nombre négatif donc on doit changer le sens de l'inéquation)
$$\ln \left(x\right)\le \frac{1}{2}$$
$$\ln \left(x\right)\le \ln \left(e^{\frac{1}{2}} \right)$$
$$x\le e^{\frac{1}{2}}$$ . Or : $$e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$-2\ln \left(x\right)+1$$ dès que $$x\le \sqrt{e}$$.
De plus :

$$f\left(5\right)=-2\times5\ln \left(5\right)+3\times 5-2$$ d'où

$$f\left(5\right)=-10\ln \left(5\right)+13$$

$$f\left(\frac{1}{2}\right)=-2\times\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{2}\right)+3\times \frac{1}{2}-2$$ ainsi : $$f\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln \left(\frac{1}{2}\right)- \frac{1}{2}$$ d'où

$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\ln \left(2\right)- \frac{1}{2}$$

$$f\left(\sqrt{e}\right)=-2\times\sqrt{e}\ln \left(\sqrt{e}\right)+3\times \sqrt{e}-2$$ . Or $$\ln \left(\sqrt{e}\right)=\ln \left(e^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}$$ ainsi $$f\left(\sqrt{e}\right)=-2\times\sqrt{e}\times \frac{1}{2}+3\times \sqrt{e}-2$$ d'où

$$f\left(\sqrt{e}\right)=-\sqrt{e} +3\times \sqrt{e}-2=2 \sqrt{e}-2$$

Nous avons donc bien :