La fonction logarithme

Exercice 4

Exercice 1

On définit une fonction gg sur l'intervalle[0,5;5]\left[0,5;5\right] par g(x)=5x3xln(x)g(x)=5x-3x\ln (x)
1

Montrer que pour xx appartenant à [0,5;5]\left[0,5;5\right] , g(x)=23ln(x)g'(x)=2-3\ln (x)

Correction
2

Etudier le signe de g(x)g'(x) sur [0,5;5]\left[0,5;5\right] puis en déduire la variation de gg sur [0,5;5]\left[0,5;5\right].

Correction
3

En déduire pour quelle valeur x0x_{0} , arrondie au centième, la fonction gg atteint un maximum.

Correction
4

Montrer que l'équation g(x)=4g\left(x\right)=4 admet deux solutions α1\alpha _{1}^{} et α2\alpha _{2}^{} sur [0,5;5,5]\left[{0,5;5,5}\right].
En donner un encadrement d'amplitude 0,010,01.

Correction
5

Résoudre g(x)4g\left(x\right)\ge 4.

Correction
6

Montrer que la fonction GG définie sur [0,5;5,5]\left[0,5;5,5\right] par G(x)=32x2lnx+134x2G\left(x\right)=-\frac{3}{2} x^{2} \ln x+\frac{13}{4} x^{2} est une primitive de gg sur [0,5;5]\left[0,5;5\right].

Correction
7

Calculer alors la valeur moyenne de la fonction gg sur l'intervalle [0,5;5]\left[0,5;5\right].
On donnera la valeur arrondie au millième.

Correction
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