La fonction logarithme

Exercice 4 - Exercice 1

1 min
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On définit une fonction gg sur l'intervalle[0,5;5]\left[0,5;5\right] par g(x)=5x3xln(x)g(x)=5x-3x\ln (x)
Question 1

Montrer que pour xx appartenant à [0,5;5]\left[0,5;5\right] , g(x)=23ln(x)g'(x)=2-3\ln (x)

Correction
La fonction gg est dérivable sur [0,5;5]\left[0,5;5\right].
On reconnait la forme (uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv'u(x)=3xu\left(x\right)=3x et v(x)=ln(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
Ainsi : u(x)=3u'\left(x\right)=3 et v(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il en résulte que :
g(x)=5(3lnx+3x×1x)g'(x)=5-\left(3\ln x+3x\times \frac{1}{x} \right) équivaut successivement à
g(x)=5(3lnx+3)g'(x)=5-\left(3\ln x+3\right)
g(x)=53lnx3g'(x)=5-3\ln x-3
g(x)=23lnxg'(x)=2-3\ln x
Question 2

Etudier le signe de g(x)g'(x) sur [0,5;5]\left[0,5;5\right] puis en déduire la variation de gg sur [0,5;5]\left[0,5;5\right].

Correction
g(x)0g'(x)\ge 0 équivaut successivement à
23lnx02-3\ln x\ge 0
3lnx2-3\ln x\ge -2
lnx23\ln x\le \frac{-2}{-3}
lnx23\ln x\le \frac{2}{3}
elnxe23e^{\ln x} \le e^{\frac{2}{3} }
xe23x\le e^{\frac{2}{3} }
Il en résulte donc que :
  • si x[0,5;e23]x\in\left[0,5;e^{\frac{2}{3} }\right] alors g(x)0g'\left(x\right)\ge0 et donc gg est croissante sur cet intervalle.
  • si x[e23;5,5]x\in\left[e^{\frac{2}{3} };5,5\right] alors g(x)0g'\left(x\right)\le0 et donc gg est décroissante sur cet intervalle.


De plus,
g(0,5)=g(12)=5×123×12ln(12)g\left(0,5\right)=g\left(\frac{1}{2} \right)=5\times \frac{1}{2} -3\times \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1}{2} \right)
g(12)=5232ln(12)3,539g\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{5}{2} -\frac{3}{2} \ln \left(\frac{1}{2} \right)\approx 3,539
g(5,5)=g(112)=5×1123×112ln(112)g\left(5,5\right)=g\left(\frac{11}{2} \right)=5\times \frac{11}{2} -3\times \frac{11}{2} \ln \left(\frac{11}{2} \right)
g(112)=552332ln(112)0,628g\left(\frac{11}{2} \right)=\frac{55}{2} -\frac{33}{2} \ln \left(\frac{11}{2} \right)\approx -0,628
Question 3

En déduire pour quelle valeur x0x_{0} , arrondie au centième, la fonction gg atteint un maximum.

Correction
La fonction gg admet un maximum pour x0=e231,95x_{0} =e^{\frac{2}{3} } \approx 1,95 et g(x0)=5e233e23ln(e23)g\left(x_{0} \right)=5e^{\frac{2}{3} } -3e^{\frac{2}{3} } \ln \left(e^{\frac{2}{3} } \right)
D'où :
g(x0)=5e233e23ln(e23)g\left(x_{0} \right)=5e^{\frac{2}{3} } -3e^{\frac{2}{3} } \ln \left(e^{\frac{2}{3} } \right) équivaut successivement à :
g(x0)=5e233e23×23g\left(x_{0} \right)=5e^{\frac{2}{3} } -3e^{\frac{2}{3} } \times \frac{2}{3}
g(x0)=5e232e23g\left(x_{0} \right)=5e^{\frac{2}{3} } -2e^{\frac{2}{3} }
g(x0)=3e23g\left(x_{0} \right)=3e^{\frac{2}{3} }
Question 4

Montrer que l'équation g(x)=4g\left(x\right)=4 admet deux solutions α1\alpha _{1}^{} et α2\alpha _{2}^{} sur [0,5;5,5]\left[{0,5;5,5}\right].
En donner un encadrement d'amplitude 0,010,01.

Correction
D'une part,
Sur [0,5;e23]\left[0,5;e^{\frac{2}{3} } \right], la fonction gg est continue et strictement croissante.
De plus, g(12)=5232ln(12)3,539g\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{5}{2} -\frac{3}{2} \ln \left(\frac{1}{2} \right)\approx 3,539 et g(e23)=3e235,843g\left(e^{\frac{2}{3} } \right)=3e^{\frac{2}{3} } \approx 5,843 . Or 4[5232ln(12);3e23]4\in \left[\frac{5}{2} -\frac{3}{2} \ln \left(\frac{1}{2} \right);3e^{\frac{2}{3} } \right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α1\alpha _{1} dans [0,5;e23]\left[0,5;e^{\frac{2}{3} } \right] tel que g(x)=4g\left(x\right)=4.
D'autre part,
Sur [e23;5,5]\left[e^{\frac{2}{3} } ;5,5\right], la fonction gg est continue et strictement décroissante.
De plus, g(e23)=3e235,843g\left(e^{\frac{2}{3} } \right)=3e^{\frac{2}{3} } \approx 5,843 et g(112)=552332ln(112)0,628g\left(\frac{11}{2} \right)=\frac{55}{2} -\frac{33}{2} \ln \left(\frac{11}{2} \right)\approx -0,628.
Or 4[552332ln(12);3e23]4\in \left[\frac{55}{2} -\frac{33}{2} \ln \left(\frac{1}{2} \right);3e^{\frac{2}{3} } \right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α2\alpha _{2} dans [e23;5,5]\left[e^{\frac{2}{3} } ;5,5\right] tel que g(x)=4g\left(x\right)=4

Ensuite à la calculatrice, on obtient :
D'une part,
g(0,5)3,5<4g(1)=5>4}α1[0,5;1]\left. \begin{array}{l} {g(0,5)\approx 3,5<4} \\ {g(1)=5>4} \end{array}\right\}\Rightarrow \alpha _{1} \in \left[0,5;1\right]
g(0,6)3,9<4g(0,7)=4,2>4}α1[0,6;0,7]\left. \begin{array}{l} {g(0,6)\approx 3,9<4} \\ {g(0,7)=4,2>4} \end{array}\right\}\Rightarrow \alpha _{1} \in \left[0,6;0,7\right]
g(0,62)3,99<4g(0,63)=4,02>4}α1[0,62;0,63]\left. \begin{array}{l} {g(0,62)\approx 3,99<4} \\ {g(0,63)=4,02>4} \end{array}\right\}\Rightarrow \alpha _{1} \in \left[0,62;0,63\right]

D'autre part,
g(3)5,1>4g(4)3,4<4}α2[3;4]\left. \begin{array}{l} {g(3)\approx 5,1>4} \\ {g(4)\approx 3,4<4} \end{array}\right\}\Rightarrow \alpha _{2} \in \left[3;4\right]
g(3,6)4,17>4g(3,7)3,98<4}α2[3,6;3,7]\left. \begin{array}{l} {g(3,6)\approx 4,17>4} \\ {g(3,7)\approx 3,98<4} \end{array}\right\}\Rightarrow \alpha _{2} \in \left[3,6;3,7\right]
g(3,68)4,02>4g(3,69)3,997<4}α2[3,68;3,69]\left. \begin{array}{l} {g(3,68)\approx 4,02>4} \\ {g(3,69)\approx 3,997<4} \end{array}\right\}\Rightarrow \alpha _{2} \in \left[3,68;3,69\right]
Question 5

Résoudre g(x)4g\left(x\right)\ge 4.

Correction
D'après le tableau de variations, g(x)4x[α1;α2]g(x)\ge 4\Leftrightarrow x\in \left[\alpha _{1} ; \alpha _{{\text 2}} \right]
Question 6

Montrer que la fonction GG définie sur [0,5;5,5]\left[0,5;5,5\right] par G(x)=32x2lnx+134x2G\left(x\right)=-\frac{3}{2} x^{2} \ln x+\frac{13}{4} x^{2} est une primitive de gg sur [0,5;5]\left[0,5;5\right].

Correction
La fonction GG définie sur [0,5;5]\left[0,5;5\right] par G(x)=32x2lnx+134x2G\left(x\right)=-\frac{3}{2} x^{2} \ln x+\frac{13}{4} x^{2} est une primitive de gg si G(x)=g(x)G'\left(x\right)=g\left(x\right)
On calcule donc la dérivée de GG.
On reconnait la forme (uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv'u(x)=32x2u\left(x\right)=-\frac{3}{2} x^{2} et v(x)=ln(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
Ainsi u(x)=3xu'\left(x\right)=-3x et v(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
Il vient alors :
G(x)=32×2x×ln(x)32x2×1x+134×2xG'\left(x\right)=-\frac{3}{2} \times 2x\times \ln \left(x\right)-\frac{3}{2} x^{2} \times \frac{1}{x} +\frac{13}{4} \times 2x équivaut successivement à
G(x)=3xln(x)32x+132xG'\left(x\right)=-3x\ln \left(x\right)-\frac{3}{2} x+\frac{13}{2} x
G(x)=5x3xln(x)G'\left(x\right)=5x-3x\ln \left(x\right)
G(x)=g(x)G'\left(x\right)=g\left(x\right)

Donc la fonction GG est une primitive de la fonction gg sur [0,5;5,5]\left[0,5;5,5\right].
Question 7

Calculer alors la valeur moyenne de la fonction gg sur l'intervalle [0,5;5]\left[0,5;5\right].
On donnera la valeur arrondie au millième.

Correction
On a :
m=150,50,55g(x)dx=14,5[G(5)G(0,5)]m=\frac{1}{5-0,5} \int _{0,5}^{5}g(x)dx =\frac{1}{4,5} \left[G(5)-G(0,5)\right]
m=14,5×[G(5)G(0,5)]m=\frac{1}{4,5} \times \left[G(5)-G(0,5)\right]
G(5)=752ln5+134×25G(5)=-\frac{75}{2} \ln 5+\frac{13}{4} \times 25
G(5)=752ln5+3254G(5)=-\frac{75}{2} \ln 5+\frac{325}{4}
G(0,5)=32×0,25ln0,5+134×0,25G(0,5)=-\frac{3}{2} \times 0,25\ln 0,5+\frac{13}{4} \times 0,25
G(0,5)=38ln0,5+1316G(0,5)=-\frac{3}{8} \ln 0,5+\frac{13}{16}
Ainsi :
m=14,5[752ln5+3254(38ln0,5+1316)]m=\frac{1}{4,5} \left[-\frac{75}{2} \ln 5+\frac{325}{4} -\left(-\frac{3}{8} \ln 0,5+\frac{13}{16} \right)\right]
m=14,5[752ln5+3254+38ln0,51316]m=\frac{1}{4,5} \left[-\frac{75}{2} \ln 5+\frac{325}{4} +\frac{3}{8} \ln 0,5-\frac{13}{16} \right]
m4,405m\approx 4,405