Exercice 2 - Exercice 1

Pour tout nombre réel $$x$$ de $$\left[1;10\right]$$
$$f'(x)=2x-14+\frac{20}{x}$$, on va mettre ensuite tout au même dénominateur.

Sur l'intervalle $$\left[1;10\right]$$, $$x>0$$ donc $$f'(x)$$ est du signe de $$2x^{2} -14x+20$$.
On cherche le signe de $$2x^{2} -14x+20$$.
On va utiliser le discriminant :
$$\Delta =14^{2} -4\times 2\times 20$$
$$\Delta =36$$.
Il existe donc deux solutions que l'on note
Les racines du polynôme sont :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} =\frac{14-6}{4} =2$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} =\frac{14+6}{4} =5.$$
Comme $$a=2>0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
De plus :

• $$f(1)=2$$
• $$f(2)=20\ln 2-1\approx 4,86$$
• $$f(5)=20\ln 5-30\approx 2,19$$
• $$f(10)=20\ln 10-25\approx 21,05$$

D'où le tableau de variation de la fonction $$f$$

D'après le tableau de variation de $$f$$, on peut dire que l'équation $$f(x)=3$$ admet trois solutions dans l'intervalle $$\left[1;10\right]$$, une dans $$\left[1;2\right]$$; une dans $$\left[2;5\right]$$; et une dans $$\left[{\text 5};10\right]$$.

Pour dériver la fonction $$20x\ln \left(x\right)$$, il faut appliquer la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$.
Il vient alors que :
$$F'\left(x\right)=\frac{1}{3} \times 3x^{2} -7\times 2x+15+20\ln \left(x\right)+20x\times \frac{1}{x} -20$$
$$F'\left(x\right)=x^{2} -14x+15+20\ln \left(x\right)+20-20$$
$$F'\left(x\right)=x^{2} -14x+15+20\ln \left(x\right)$$

On commence donc à déterminer une primitive de $$f$$.
D'après la question 4, $$F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -7x^{2} +15x+20x\ln \left(x\right)-20x$$
Ensuite, on applique la formule de la valeur moyenne :
$$m=\frac{1}{10-1} \int _{1}^{10}\left(x^{2} -14x+15+20\ln x\right) dx$$ équivaut successivement à
$$m=\frac{1}{9} \left(F\left(10\right)-F\left(1\right)\right)$$
$$F\left(10\right)=\frac{1}{3} \times 10^{3} -7\times 10^{2} +15\times 10+20\times 10\times \ln \left(10\right)-20\times 10$$
$$F\left(10\right)=\frac{-1250}{3} +200\ln \left(10\right)$$
$$F\left(1\right)=\frac{1}{3} \times 1^{3} -7\times 1^{2} +15\times 1+20\times 1\times \ln \left(1\right)-20\times 1$$
$$F\left(1\right)=\frac{-35}{3}$$
$$m=\frac{1}{9} \left(\left(\frac{-1250}{3} +200\ln \left(10\right)\right)-\left(\frac{-35}{3} \right)\right)$$
$$m=\frac{1}{9} \left(\frac{-1250}{3} +200\ln \left(10\right)+\frac{35}{3} \right)$$
$$m=\frac{1}{9} \left(\frac{-1215}{3} +200\ln \left(10\right)\right)$$
Finalement :