La fonction logarithme

Exercice 1

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
1

On considère la fonction ff définie par f(x)=xxln(x)f\left(x\right)=x-x\ln \left(x\right).
La fonction ff est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ et sa dérivée ff' est donnée par :
  • f(x)=11xf'\left(x\right)=1-\frac{1}{x}
  • f(x)=1ln(x)f'\left(x\right)=1-\ln \left(x\right)
  • f(x)=ln(x)f'\left(x\right)=-\ln \left(x\right)
  • f(x)=ln(x)f'\left(x\right)=\ln \left(x\right)

Correction
2

On considère la fonction ff définie par f(x)=(x+2)ln(x)f\left(x\right)=\left(-x+2\right)\ln \left(x\right).
La fonction ff est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ et sa dérivée ff' est donnée par :
  • f(x)=ln(x)1+2xf'\left(x\right)=-\ln \left(x\right)-1+\frac{2}{x}
  • f(x)=1xf'\left(x\right)=-\frac{1}{x}
  • f(x)=x+2f'\left(x\right)=-x+2
  • f(x)=ln(x)f'\left(x\right)=-\ln \left(x\right)

Correction
3

On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=ln(x)2xf\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{2x} .
L'équation de la tangente au point d'abscisse 1 est :
  • y=12x12y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}
  • y=12x+12y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}
  • y=x+1y=x+1
  • y=x1y=x-1

Correction
4

On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=2ln(x)x2f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)-x^{2} .
La fonction ff est :
  • Est concave sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[
  • Est convexe sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[
  • Change deux fois de convexité sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[
  • Change une fois de convexité sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[

Correction
5

On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=(2x+1)ln(x)f\left(x\right)=\left(2x+1\right)\ln \left(x\right).
L'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet :
  • Une solution positive.
  • Une solution négative.
  • Une solution négative et une solution positive.
  • Deux solutions positives.

Correction
6

Soit nn un entier naturel, l'ensemble des solutions de l'inéquation 0,45×(0,68)n+0,750,7-0,45\times \left(0,68\right)^{n} +0,75\ge 0,7 est :
  • n5,7n\ge 5,7
  • n5n\ge 5
  • n6n\ge 6
  • n6,7n\ge 6,7

Correction
7

La valeur exacte de N=ln(5e3)N=\ln \left(\sqrt{5e^{3} } \right) est :
  • N=12ln(5)+32N=\frac{1}{2} \ln \left(5\right)+\frac{3}{2}
  • N=ln(5)+3N=\ln \left(5\right)+3
  • N=2,304718956N=2,304718956
  • N=ln(15)N=\ln \left(\sqrt{15} \right)

Correction
8

La valeur exacte de T=e5ln(2)×e7ln(4)T=e^{5\ln \left(2\right)} \times e^{7\ln \left(4\right)} est :
  • 2192^{19}
  • 5ln(2)×7ln(4)5\ln \left(2\right)\times 7\ln \left(4\right)
  • ln(2)×ln(4)\ln \left(2\right)\times \ln \left(4\right)
  • 5×2×7×45\times 2\times 7\times 4

Correction
On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=2xf\left(x\right)=\frac{2}{x} .
On note CC sa courbe représentative.
9

L'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe CC, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=3x=3 et x=8x=8, est égale à :
  • 18338f(x)dx\frac{1}{8-3} \int _{3}^{8}f\left(x\right)dx
  • 2ln(83)2\ln \left(\frac{8}{3} \right)
  • 2ln(38)2\ln \left(\frac{3}{8} \right)
  • 1,9616505061,961650506

Correction
10

Soit xx un réel strictement positif. La solution exacte de l'équation : (12)x=310\left(\frac{1}{2} \right)^{x} =\frac{3}{10} est :
  • x=ln(3)+ln(10)ln(2)x=\frac{-\ln \left(3\right)+\ln \left(10\right)}{\ln \left(2\right)}
  • x=ln(3)ln(10)ln(2)x=\frac{\ln \left(3\right)-\ln \left(10\right)}{\ln \left(2\right)}
  • x=ln(3)+ln(10)ln(2)x=\frac{\ln \left(3\right)+\ln \left(10\right)}{\ln \left(2\right)}
  • 1,7369655941,736965594

Correction
11

Soit xx un réel strictement positif. La solution de l’équation x23=92x^{23}=92 est égale à :
  • 44
  • 1,2172564361,217256436
  • eln(92)23e^{\frac{\ln \left(92\right)}{23} }
  • eln(23)92e^{\frac{\ln \left(23\right)}{92} }

Correction
12

On considère la fonction ff définie sur ]1;+[\left]1;+\infty \right[ par f(x)=ln(x)xln(x)f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{x-\ln \left(x\right)} .
La dérivée de ff notée ff' vaut :
  • f(x)=1(xln(x))2f'\left(x\right)=\frac{1}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
  • f(x)=1(xln(x))2f'\left(x\right)=\frac{-1}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
  • f(x)=x(xln(x))2f'\left(x\right)=\frac{x}{\left(x-\ln \left(x\right)\right)^{2} }
  • f(x)=1f'\left(x\right)=1

Correction
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