La fonction logarithme

Etudes de fonctions

Exercice 1

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle [1;15]\left[1;15 \right] par f(x)=x54ln(x)f\left(x\right)=x-5-4\ln \left(x\right) .
On note CfC_{f} sa courbe représentative dans un repère du plan.
1

Calculer la dérivée ff' de la fonction ff.

Correction
2

Dresser le tableau de variation de ff sur [1;15]\left[1;15 \right].

Correction
3

Déterminer une équation de la tangente (T)\left(T\right) à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse ee.

Correction

Exercice 2

Soit ff la fonction définie sur [110;10]\left[\frac{1}{10} ;10\right]par f(x)=2xlnx3f\left(x\right)=2x\ln x-3
1

Etudiez les variations de ff

Correction
2

Démontrez que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution α\alpha \in [110;10]\left[\frac{1}{10} ;10\right].
Donnez un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
3

En déduire le signe de ff sur [110;10]\left[\frac{1}{10} ;10\right]

Correction

Exercice 3

Une entreprise fabrique des protections pour téléphone. On a modélisé le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, par la fonction BB définie sur l'intervalle [0,1;5]\left[0,1;5\right] par B(x)=3ln(x)+5xB\left(x\right)=\frac{3\ln \left(x\right)+5}{x}xx désigne le nombre de protections fabriquées et vendues, en milliers.
1

Calculer la dérivée, notée BB', de la fonction BB.

Correction
2

Déterminer le tableau de variation complet de la fonction BB.

Correction
3

En déduire pour quel nombre de protections fabriquées et vendues le bénéfice est maximal et la valeur de ce bénéfice maximale arrondie à l'euro près.

Correction

Exercice 4

Soit ff la fonction définie sur ]0;10]\left]0 ;10\right] par f(x)=xlnx+2x+1f\left(x\right)=-x\ln x+2x+1.
La courbe CC est la représentation graphique de la fonction ff sur l’intervalle ]0;10]\left]0 ;10\right].
1

Calculer f(x)f'\left(x\right).

Correction
2

Etudiez les variations de ff sur ]0;10]\left]0 ;10\right]. Donner la valeur exacte de son extremum.

Correction
3

Montrer que la courbe CC est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle ]0;10]\left]0 ;10\right].

Correction
On admet que la fonction FF définie par F(x)=x22ln(x)+54x2+x7F\left(x\right)=-\frac{x^{2} }{2} \ln \left(x\right)+\frac{5}{4} x^{2} +x-7 est une primitive de la fonction ff sur l’intervalle ]0;10]\left]0 ;10\right].
4

Calculer la valeur exacte de I=12f(x)dxI=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx.

Correction
5

En déduire la valeur moyenne de ff sur l'intervalle [1;2]\left[1 ;2\right].

Correction
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