La fonction logarithme

Equation et inéquation

Exercice 1

Pour chaque question, résoudre l'équation sur l'intervalle II considéré.
ln(A)=ln(B)A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B et ln(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
1

lnx=0\ln x=0 ; I=]0;+[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
2

lnx=5\ln x=5 ; I=]0;+[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
3

2lnx+4=02\ln x+4=0 ; I=]0;+[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
4

4ln(x)7=04\ln \left(x\right)-7=0 ; I=]0;+[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
5

(lnx8)lnx=0\left(-\ln x-8\right)\ln x=0 ; I=]0;+[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
6

5lnx+2=2lnx105\ln x+2=2\ln x-10 ; I=]0;+[I =\left]0;+\infty \right[

Correction

Exercice 2

Pour chaque question, résoudre l'équation sur l'intervalle II considéré.
ln(A)=ln(B)A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
1

ln(4x2)=0\ln \left(4x-2\right)=0 ; I=]12;+[I =\left]\frac{1}{2} ;+\infty \right[

Correction
2

ln(x+3)=1\ln \left(x+3\right)=1 ; I=]3;+[I =\left]-3;+\infty \right[

Correction
3

2ln(x+7)=62\ln \left(-x+7\right)=-6 ; I=];7[I =\left]-\infty ;7\right[

Correction
4

ln(x+3)=ln(2x+10)\ln \left(x+3\right)=\ln \left(2x+10\right) ; I=]3;+[I =\left]-3;+\infty \right[

Correction
5

ln(x+5)=ln(2x+10)\ln \left(-x+5\right)=\ln \left(2x+10\right) ; I=]5;5[I =\left]-5;5\right[

Correction
6

ln(x)+ln(x+1)=0\ln \left(x\right)+\ln \left(x+1\right)=0 ; I=]0;+[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
7

ln(2x+2)+ln(2x)=ln(5)+ln(x)\ln \left(2x+2\right)+\ln \left(2x\right)=\ln \left(5\right)+\ln \left(x\right) ; I=]0;+[I =\left]0;+\infty \right[

Correction

Exercice 3

Pour chaque question, résoudre l'inéquation sur l'intervalle II considéré.
  • ln(A)ln(B)AB\ln \left(A\right)\ge \ln \left(B\right)\Leftrightarrow A\ge B
  • ln(A)ln(B)AB\ln \left(A\right)\le \ln \left(B\right)\Leftrightarrow A\le B
1

ln(x)>1\ln \left(x\right)>1 ; I=]0;+[I =\left]0;+\infty \right[

Correction
2

ln(2x+2)0\ln \left(-2x+2\right)\ge 0 ; I=];1[I =\left]-\infty ;1\right[

Correction
3

ln(2x+2)ln(x+4)\ln \left(-2x+2\right)\ge \ln \left(x+4\right) ; I=]4;1[I =\left]-4;-1\right[

Correction
4

ln(x2)<ln(4x3)\ln \left(x^{2} \right)<\ln \left(4x-3\right) ; I=]34;+[I =\left]\frac{3}{4} ;+\infty \right[

Correction
5

ln(2x+2)+ln(2x)ln(x)\ln \left(-2x+2\right)+\ln \left(2x\right)\le \ln \left(x\right) ; I=]0;1[I =\left]0;1\right[

Correction
6

2ln(x)+ln(3)ln(x2+3)2\ln \left(x\right)+\ln \left(3\right)\ge \ln \left(x^{2} +3\right) ; I=]0;+[I =\left]0;+\infty \right[

Correction

Exercice 4

Soit nn un entier naturel, résoudre les inéquations suivantes :
1

2n20162^{n} \ge 2016

Correction
2

5n2195^{n} \ge 219

Correction
3

(0,4)n106\left(0,4\right)^{n} \le 10^{-6}

Correction
4

3×(2)n120003\times \left(2\right)^{n} \ge 12000

Correction

Exercice 5

1

La production mondiale d’objets connectés augmente de 5%5\% par an.
Au bout de combien d'années cette production aura-t-elle doublé ?

Correction

Exercice 6

Pour tout réel xx, on pose P(x)=2x36x212x+16P\left(x\right)=2x^{3} -6x^{2} -12x+16
1

Vérifier que P(2)=0P\left(-2\right)=0

Correction
2

Déterminer les réels aa, bb et cc tels que : P(x)=(x+2)(ax2+bx+c)P\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(ax^{2} +bx+c\right)

Correction
3

Résoudre P(x)=0P\left(x\right)=0

Correction
4

Résoudre P(x)0P\left(x\right)\ge 0

Correction
5

En s'aidant des questions précédentes, résoudre l'inéquation 2ln(x)+ln(2x6)ln(2)+ln(6x8)2\ln \left(x\right)+\ln \left(2x-6\right)\ge \ln \left(2\right)+\ln \left(6x-8\right) sur l'intervalle I=]3;+[I=\left]3;+\infty \right[

Correction
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