Dérivées - Exercice 1

$$f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +1.$$
On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe.
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=\frac{2}{x} +\frac{x}{x}$$
D'où :

$$f'\left(x\right)=-\frac{3}{x} +4.$$
On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe.
Ainsi :
$$f'\left(x\right)=-\frac{3}{x} +\frac{4x}{x}$$
D'où :

Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x}$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+\frac{x}{x}$$

Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=3x$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=3$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=3\times \ln \left(x\right)+3x\times \frac{1}{x}$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+\frac{3x}{x}$$

Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2x+1$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=2\times \ln \left(x\right)+\left(2x+1\right)\times \frac{1}{x}$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+2x\times \frac{1}{x} +\frac{1}{x}$$
$$f'\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{2x}{x} +\frac{1}{x}$$

Ici on reconnaît la forme : $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times x-\ln \left(x\right)}{x^{2} }$$ équivaut successivement à :

Ici on reconnaît la forme : $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=2x+1$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=2$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times \left(2x+1\right)-2\ln \left(x\right)}{\left(2x+1\right)^{2} }$$

La fonction $$f$$ est définie si et seulement si $$x>0$$. De plus $$f$$est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2x^{2} +3$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=4x$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=4x\times \ln \left(x\right)+\left(2x^{2} +3\right)\times \frac{1}{x}$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)+2x^{2} \times \frac{1}{x} +3\times \frac{1}{x}$$
$$f'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)+\frac{2x^{2} }{x} +\frac{3}{x}$$
$$f'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)+2x+\frac{3}{x}$$

$$f'\left(x\right)=\frac{9}{x} -\frac{4}{x^{2} } .$$
On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe.
Ainsi :

Ici on reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)-1$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{1}{x} \times \left(\ln \left(x\right)-1\right)+\ln \left(x\right)\times \frac{1}{x}$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)-1}{x} +\frac{\ln \left(x\right)}{x}$$
Ainsi :