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La fonction exponentielle
Savoir résoudre des équations avec les exponentielles - Exercice 1
30 min
40
Résoudre les équations suivantes sur
R
\mathbb{R}
R
.
Question 1
e
2
x
−
3
=
1
e^{2x-3} =1
e
2
x
−
3
=
1
Correction
e
0
=
1
e^{0} =1
e
0
=
1
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
2
x
−
3
=
1
e^{2x-3} =1
e
2
x
−
3
=
1
équivaut successivement à :
e
2
x
−
3
=
e
0
e^{2x-3} =e^{0}
e
2
x
−
3
=
e
0
2
x
−
3
=
0
2x-3=0
2
x
−
3
=
0
x
=
3
2
x=\frac{3}{2}
x
=
2
3
Donc
S
=
{
3
2
}
S=\left\{\frac{3}{2} \right\}
S
=
{
2
3
}
Question 2
e
−
x
+
1
=
−
1
e^{-x+1} =-1
e
−
x
+
1
=
−
1
Correction
e
−
x
+
1
=
−
1
e^{-x+1} =-1
e
−
x
+
1
=
−
1
. Equation impossible à résoudre car une exponentielle est
strictement positive.
S
=
∅
S=\emptyset
S
=
∅
Question 3
e
x
+
1
=
e
e^{x+1} =e
e
x
+
1
=
e
Correction
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
x
+
1
=
e
e^{x+1} =e
e
x
+
1
=
e
équivaut successivement à :
e
x
+
1
=
e
1
e^{x+1} =e^{1}
e
x
+
1
=
e
1
x
+
1
=
1
x+1=1
x
+
1
=
1
x
=
0
x=0
x
=
0
Donc
S
=
{
0
}
S=\left\{0\right\}
S
=
{
0
}
Question 4
e
3
x
+
1
=
e
−
4
x
+
8
e^{3x+1} =e^{-4x+8}
e
3
x
+
1
=
e
−
4
x
+
8
Correction
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
3
x
+
1
=
e
−
4
x
+
8
e^{3x+1} =e^{-4x+8}
e
3
x
+
1
=
e
−
4
x
+
8
équivaut successivement à :
3
x
+
1
=
−
4
x
+
8
3x+1=-4x+8
3
x
+
1
=
−
4
x
+
8
7
x
=
7
7x=7
7
x
=
7
x
=
1
x=1
x
=
1
Donc
S
=
{
1
}
S=\left\{1\right\}
S
=
{
1
}
Question 5
e
−
x
+
5
=
e
x
e
2
e^{-x+5} =e^{x} e^{2}
e
−
x
+
5
=
e
x
e
2
Correction
e
A
e
B
=
e
A
+
B
e^{A} e^{B}=e^{A+B}
e
A
e
B
=
e
A
+
B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
−
x
+
5
=
e
x
e
2
e^{-x+5} =e^{x} e^{2}
e
−
x
+
5
=
e
x
e
2
équivaut successivement à :
e
−
x
+
5
=
e
x
+
2
e^{-x+5} =e^{x+2}
e
−
x
+
5
=
e
x
+
2
−
x
+
5
=
x
+
2
-x+5=x+2
−
x
+
5
=
x
+
2
−
2
x
=
−
3
-2x=-3
−
2
x
=
−
3
x
=
3
2
x=\frac{3}{2}
x
=
2
3
Donc
S
=
{
3
2
}
S=\left\{\frac{3}{2} \right\}
S
=
{
2
3
}
Question 6
e
3
x
+
3
=
e
−
4
x
+
1
e
6
x
+
3
e^{3x+3} =e^{-4x+1} e^{6x+3}
e
3
x
+
3
=
e
−
4
x
+
1
e
6
x
+
3
Correction
e
A
e
B
=
e
A
+
B
e^{A} e^{B}=e^{A+B}
e
A
e
B
=
e
A
+
B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
3
x
+
3
=
e
−
4
x
+
1
e
6
x
+
3
e^{3x+3} =e^{-4x+1} e^{6x+3}
e
3
x
+
3
=
e
−
4
x
+
1
e
6
x
+
3
équivaut successivement à :
e
3
x
+
3
=
e
−
4
x
+
1
+
6
x
+
3
e^{3x+3} =e^{-4x+1+6x+3}
e
3
x
+
3
=
e
−
4
x
+
1
+
6
x
+
3
e
3
x
+
3
=
e
2
x
+
4
e^{3x+3} =e^{2x+4}
e
3
x
+
3
=
e
2
x
+
4
3
x
+
3
=
2
x
+
4
3x+3=2x+4
3
x
+
3
=
2
x
+
4
3
x
−
2
x
=
4
−
3
3x-2x=4-3
3
x
−
2
x
=
4
−
3
x
=
1
x=1
x
=
1
Donc
S
=
{
1
}
S=\left\{1\right\}
S
=
{
1
}
Question 7
e
2
x
+
3
e
5
x
+
1
=
1
\frac{e^{2x+3} }{e^{5x+1} } =1
e
5
x
+
1
e
2
x
+
3
=
1
Correction
e
A
e
B
=
e
A
−
B
\frac{e^{A}}{ e^{B}}=e^{A-B}
e
B
e
A
=
e
A
−
B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
2
x
+
3
e
5
x
+
1
=
1
\frac{e^{2x+3} }{e^{5x+1} } =1
e
5
x
+
1
e
2
x
+
3
=
1
équivaut successivement à :
e
2
x
+
3
−
(
5
x
+
1
)
=
1
e^{2x+3-\left(5x+1\right)} =1
e
2
x
+
3
−
(
5
x
+
1
)
=
1
e
2
x
+
3
−
5
x
−
1
=
e
0
e^{2x+3-5x-1} =e^{0}
e
2
x
+
3
−
5
x
−
1
=
e
0
e
−
3
x
+
2
=
e
0
e^{-3x+2} =e^{0}
e
−
3
x
+
2
=
e
0
−
3
x
+
2
=
0
-3x+2=0
−
3
x
+
2
=
0
−
3
x
=
−
2
-3x=-2
−
3
x
=
−
2
x
=
2
3
x=\frac{2}{3}
x
=
3
2
Donc
S
=
{
2
3
}
S=\left\{\frac{2}{3} \right\}
S
=
{
3
2
}
Question 8
e
2
x
+
3
e
5
x
+
1
=
e
x
+
2
\frac{e^{2x+3} }{e^{5x+1} } =e^{x+2}
e
5
x
+
1
e
2
x
+
3
=
e
x
+
2
Correction
e
A
e
B
=
e
A
−
B
\frac{e^{A}}{ e^{B}}=e^{A-B}
e
B
e
A
=
e
A
−
B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
2
x
+
3
e
5
x
+
1
=
e
x
+
2
\frac{e^{2x+3} }{e^{5x+1} } =e^{x+2}
e
5
x
+
1
e
2
x
+
3
=
e
x
+
2
équivaut successivement à :
e
2
x
+
3
−
(
5
x
+
1
)
=
e
x
+
2
e^{2x+3-\left(5x+1\right)} =e^{x+2}
e
2
x
+
3
−
(
5
x
+
1
)
=
e
x
+
2
e
2
x
+
3
−
5
x
−
1
=
e
x
+
2
e^{2x+3-5x-1} =e^{x+2}
e
2
x
+
3
−
5
x
−
1
=
e
x
+
2
e
−
3
x
+
2
=
e
x
+
2
e^{-3x+2} =e^{x+2}
e
−
3
x
+
2
=
e
x
+
2
−
3
x
+
2
=
x
+
2
-3x+2=x+2
−
3
x
+
2
=
x
+
2
−
3
x
−
x
=
2
−
2
-3x-x=2-2
−
3
x
−
x
=
2
−
2
−
4
x
=
0
-4x=0
−
4
x
=
0
x
=
0
x=0
x
=
0
Donc
S
=
{
0
}
S=\left\{0\right\}
S
=
{
0
}
Question 9
e
x
2
=
e
4
x
e
−
3
e^{x^{2} } =e^{4x} e^{-3}
e
x
2
=
e
4
x
e
−
3
Correction
e
A
e
B
=
e
A
+
B
e^{A} e^{B}=e^{A+B}
e
A
e
B
=
e
A
+
B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
x
2
=
e
4
x
e
−
3
e^{x^{2} } =e^{4x} e^{-3}
e
x
2
=
e
4
x
e
−
3
équivaut successivement :
e
x
2
=
e
4
x
−
3
e^{x^{2} } =e^{4x-3}
e
x
2
=
e
4
x
−
3
x
2
=
4
x
−
3
x^{2} =4x-3
x
2
=
4
x
−
3
x
2
−
4
x
+
3
=
0
x^{2} -4x+3=0
x
2
−
4
x
+
3
=
0
x
1
=
1
x_{1} =1
x
1
=
1
ou
x
2
=
3
x_{2} =3
x
2
=
3
Ici, on a utilisé le discriminant pour résoudre l'équation :
x
2
−
4
x
+
3
=
0
x^{2} -4x+3=0
x
2
−
4
x
+
3
=
0
Donc
S
=
{
1
;
3
}
S=\left\{1;3\right\}
S
=
{
1
;
3
}
Question 10
e
5
x
+
2
=
−
e
x
2
e^{5x+2} =-e^{x^{2}}
e
5
x
+
2
=
−
e
x
2
Correction
Pour tout réel
x
x
x
, on sait que :
e
5
x
+
2
>
0
e^{5x+2}>0
e
5
x
+
2
>
0
et que
e
x
2
>
0
e^{x^{2}}>0
e
x
2
>
0
. Ainsi :
−
e
x
2
<
0
-e^{x^{2}}<0
−
e
x
2
<
0
Il en résulte que cette équation n'a pas de solutions.
S
=
∅
S=\emptyset
S
=
∅
Question 11
e
x
2
−
1
=
1
e^{x^{2} -1} =1
e
x
2
−
1
=
1
Correction
e
0
=
1
e^{0} =1
e
0
=
1
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
x
2
−
1
=
1
e^{x^{2} -1} =1
e
x
2
−
1
=
1
équivaut successivement à :
e
x
2
−
1
=
e
0
e^{x^{2} -1} =e^{0}
e
x
2
−
1
=
e
0
x
2
−
1
=
0
x^{2} -1=0
x
2
−
1
=
0
x
2
=
1
x^{2} =1
x
2
=
1
x
=
1
x=\sqrt{1}
x
=
1
ou
x
=
−
1
x=-\sqrt{1}
x
=
−
1
x
=
1
x=1
x
=
1
ou
x
=
−
1
x=-1
x
=
−
1
Donc
S
=
{
−
1
;
1
}
S=\left\{-1;1\right\}
S
=
{
−
1
;
1
}
Question 12
e
x
2
=
e
−
19
e^{x^{2} } =e^{-19}
e
x
2
=
e
−
19
Correction
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
x
2
=
e
−
19
e^{x^{2} } =e^{-19}
e
x
2
=
e
−
19
équivaut successivement à :
x
2
=
−
19
x^{2} =-19
x
2
=
−
19
Equation impossible à résoudre car un carré est
positif ou nul.
S
=
∅
S=\emptyset
S
=
∅
Question 13
e
x
(
2
e
x
−
2
)
=
0
e^{x} \left(2e^{x} -2\right)=0
e
x
(
2
e
x
−
2
)
=
0
Correction
e
x
(
2
e
x
−
2
)
=
0
e^{x} \left(2e^{x} -2\right)=0
e
x
(
2
e
x
−
2
)
=
0
.
Il s'agit d'une équation produit nul.
e
x
=
0
e^{x}=0
e
x
=
0
ou
2
e
x
−
2
=
0
2e^{x} -2=0
2
e
x
−
2
=
0
D’une part :
\red{\text{ D'une part :}}
D’une part :
résolvons
e
x
=
0
e^{x}=0
e
x
=
0
. Equation impossible à résoudre car une exponentielle est
strictement positive.
D’autre part :
\red{\text{ D'autre part :}}
D’autre part :
résolvons
2
e
x
−
2
=
0
2e^{x} -2=0
2
e
x
−
2
=
0
Ainsi :
2
e
x
−
2
=
0
⇔
2
e
x
=
2
⇔
e
x
=
2
2
⇔
e
x
=
1
⇔
e
x
=
e
0
⇔
x
=
0
2e^{x} -2=0\Leftrightarrow 2e^{x} =2\Leftrightarrow e^{x} =\frac{2}{2} \Leftrightarrow e^{x} =1\Leftrightarrow e^{x} =e^{0} \Leftrightarrow x=0
2
e
x
−
2
=
0
⇔
2
e
x
=
2
⇔
e
x
=
2
2
⇔
e
x
=
1
⇔
e
x
=
e
0
⇔
x
=
0
La solution de l'équation est alors :
S
=
{
0
}
S=\left\{0\right\}
S
=
{
0
}