La fonction exponentielle

QCM - Exercice 1

20 min
30
Pour chaque question, il n'y a qu'une seule bonne réponse.
Vous devrez justifier.
Question 1

Pour tout nombre réel xx, A(x)=1−e−x−1e−x+1A\left(x\right)=1-\frac{e^{-x} -1}{e^{-x} +1} s'écrit également :
  • 2e−x+1\frac{2}{e^{-x} +1}
  • 2e−xe−x+1\frac{2e^{-x} }{e^{-x} +1}
  • 22
  • 00

Correction
 La bonne reˊponse est a.\red{\text{ La bonne réponse est a.}}
A(x)=1−e−x−1e−x+1A\left(x\right)=1-\frac{e^{-x} -1}{e^{-x} +1} . Nous allons tout mettre au même dénominateur.
A(x)=e−x+1e−x+1−e−x−1e−x+1A\left(x\right)=\frac{e^{-x} +1}{e^{-x} +1}-\frac{e^{-x} -1}{e^{-x} +1}
A(x)=e−x+1−(e−x−1)e−x+1A\left(x\right)=\frac{e^{-x} +1-\left(e^{-x} -1\right)}{e^{-x} +1}
A(x)=e−x+1−e−x+1e−x+1 A\left(x\right)=\frac{e^{-x} +1-e^{-x} +1}{e^{-x} +1}
A(x)=2e−x+1 A\left(x\right)=\frac{2}{e^{-x} +1}

Question 2

ff est la fonction définie et dérivable sur ]−1;+∞[\left]-1;+\infty \right[ par : f(x)=−2exx+1f\left(x\right)=\frac{-2e^{x} }{x+1} alors sa dérivée notée f′f' vaut :
  • f′(x)=−2ex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2e^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }
  • f′(x)=−2xex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2xe^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }
  • f′(x)=2ex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{2e^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }
  • f′(x)=2xex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{2xe^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }

Correction
La bonne réponse est b.
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=−2exu\left(x\right)=-2e^{x} et v(x)=x+1v\left(x\right)=x+1.
Ainsi : u′(x)=−2exu'\left(x\right)=-2e^{x} et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
Il vient alors que :
f′(x)=−2ex(x+1)−(−2ex)×1(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2e^{x} \left(x+1\right)-\left(-2e^{x} \right)\times 1}{\left(x+1\right)^{2} }
f′(x)=−2xex−2ex+2ex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2xe^{x} -2e^{x} +2e^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }
Finalement :
f′(x)=−2xex(x+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2xe^{x} }{\left(x+1\right)^{2} }

Question 3

Le nombre e3(e−2)5e^{3} \left(e^{-2} \right)^{5} est égale à :
  • e6e^{6}
  • e−30e^{-30}
  • e−7e^{-7}
  • e7e^{7}

Correction
La bonne réponse est c.
  • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
  • eaeb=ea−b\frac{e^{a} }{e^{b} } =e^{a-b}
  • (ea)b=ea×b\left(e^{a} \right)^{b} =e^{a\times b}
  • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
e3(e−2)5=e3e−2×5=e3e−10=e3+(−10)=e−7e^{3} \left(e^{-2} \right)^{5}=e^{3} e^{-2\times 5} =e^{3} e^{-10} =e^{3+\left(-10\right)} =e^{-7}
Question 4

−2e2×3e4(2e2)2−3e4\frac{-2e^{2} \times 3e^{4} }{\left(2e^{2} \right)^{2} -3e^{4} } est égal à :
  • 1(2e2)\frac{1}{\left(2e^{2} \right)}
  • −6e2-6e^{2}
  • −5e2-5e^{2}
  • aucune des trois propositions proposées ci-dessus n'est correcte

Correction
La bonne réponse est b.
  • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
  • eaeb=ea−b\frac{e^{a} }{e^{b} } =e^{a-b}
  • (ea)b=ea×b\left(e^{a} \right)^{b} =e^{a\times b}
  • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
Notons B=−2e2×3e4(2e2)2−3e4B=\frac{-2e^{2} \times 3e^{4} }{\left(2e^{2} \right)^{2} -3e^{4} }
B=−6e64e4−3e4B=\frac{-6e^{6}}{4e^{4} -3e^{4} } équivaut successivement à :
B=−6e6e4B=\frac{-6e^{6}}{e^{4}}
B=−6e6−4B=-6e^{6-4}
D'où :
B=−6e2B=-6e^{2}

Question 5

Soit ff la fonction définie pour tout réel xx par f(x)=e−3x+e2f\left(x\right)=e^{-3x}+e^{2} alors sa dérivée notée f′f' vaut :
  • f′(x)=e−3x+e2f'\left(x\right)=e^{-3x}+e^{2}
  • f′(x)=−3e−3x+2e2f'\left(x\right)=-3e^{-3x}+2e^{2}
  • f′(x)=−3e−3xf'\left(x\right)=-3e^{-3x}
  • f′(x)=−3e−3x+e2f'\left(x\right)=-3e^{-3x}+e^{2}

Correction
La bonne réponse est c.
(eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
Ici, il est impératif de voir que l'expression e2e^{2} est une constante car elle ne dépend pas de la variable xx. Autrement dit, la dérivée de e2e^{2} est alors 00.
Finalement :
f′(x)=−3×e−3x+0f'\left(x\right)=-3\times e^{-3x}+0
Ainsi :
f′(x)=−3e−3xf'\left(x\right)=-3e^{-3x}
Question 6

Soit la fonction ff définie sur l’intervalle [−10;10]\left[-10 ; 10\right] par f(x)=(2x−3)e−3xf\left(x\right)=\left(2x-3\right)e^{-3x}. L’équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet sur l’intervalle [−10;10]\left[-10 ; 10\right]
  • 00 solution
  • 11 solution
  • 22 solutions
  • 33 solutions

Correction
La bonne réponse est b.
f(x)=0⇔(2x−3)e−3x=0f\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left(2x-3\right)e^{-3x} =0. Il s'agit donc d'une équation produit nul .
Ainsi : 2x−3=02x-3=0 ou e−3x=0e^{-3x} =0.
Or e−3x=0e^{-3x} =0 n'admet pas de solutions car une exponentielle est strictement positive.
Il nous faut résoudre maintenant l'équation 2x−3=02x-3=0.
2x−3=0⇔2x=3⇔x=322x-3=0\Leftrightarrow 2x=3\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}
Il en résulte donc que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution x=32x=\frac{3}{2}.