g(x)=(−x+1)e2x+3Ici on reconnait la forme :
(uv)′=u′v+uv′ avec
u(x)=−x+1 et
v(x)=e2xOn note
w(x)=3Ainsi :
u′(x)=−1 et
v′(x)=2e2x, enfin
w′(x)=0Il vient alors que :
g′(x)=−e2x+(−x+1)(2e2x)g′(x)=−e2x+(−x)×(2e2x)+1×(2e2x)g′(x)=−e2x−2xe2x+2e2x g′(x)=−2xe2x+e2x Ainsi :
g′(x)=e2x(−2x+1) Pour tout réel
x, on a
e2x>0. Le signe de
g′ dépend donc de
−2x+1 .
−2x+1≥0−2x≥−1x≤−2−1x≤21.Cela signifie que l'on va mettre le signe
+ dans la ligne de
−2x+1 lorsque
x sera inférieur ou égale à
21.
De plus :
g(21)=21e+3g(−10)=(10+1)e−20+3 donc :
g(−10)=11e−20+3g(10)=(−10+1)e20+3 donc :
g(10)=−9e20+3On en déduit le tableau de variation suivant :