Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 1

Graphiquement, on lit : .

$$f'\left(2,5\right)$$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$2,5$$ donc au point $$A$$. Les coordonnées du point $$A$$ sont $$A\left(2,5;1,5\right)$$
De plus, le point $$\left(5,5;0\right)$$ appartient à cette tangente. Nous allons appelé ce point $$B\left(5,5;0\right)$$
A l'aide du point $$A$$ et du point $$B$$ on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente.
$$f'\left(2,5\right)=\frac{y_{B} -y_{A} }{x_{B} -x_{A} }$$

Il s'agit ici de l'équation de la tangente au point d'abscisse $$2,5$$.
$$y=f'\left(2,5\right)\left(x-2,5\right)+f\left(2,5\right)$$
$$y=-\frac{1}{2} \times \left(x-2,5\right)+1,5$$
$$y=-\frac{1}{2} x+1,25+1,5$$

Soit : $$f\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{-x+2,5}$$
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=ax+b$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x+2,5}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=a$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x+2,5}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=ae^{-x+2,5} +\left(ax+b\right)\times \left(-e^{-x+2,5} \right)$$
$$f'\left(x\right)=ae^{-x+2,5} -axe^{-x+2,5} -be^{-x+2,5}$$

$$\red{\text{ D'une part :}}$$
$$f\left(1\right)=0$$ ce qui nous donne $$\left(a+b\right)e^{-1+2,5}=0$$ ou encore $$\left(a+b\right)e^{1,5}=0$$
Or $$e^{1,5}\ne0$$ ce qui permet de dire que
$$\red{\text{ D'autre part :}}$$
$$f'\left(2,5\right)=-\frac{1}{2}$$ équivaut successivement à :
$$e^{-2,5+2,5} \times\left(a-2,5a-b\right)=-\frac{1}{2}$$
$$e^{0} \times\left(a-2,5a-b\right)=-\frac{1}{2}$$

Il nous faut donc résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {+} & {b} & {=} & {0} \\ {-1,5a} & {-} & {b} & {=} & {-\frac{1}{2}} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {-b} \\ {-1,5\times\left(-b\right)} & {-} & {b} & {=} & {-\frac{1}{2}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {-b} \\ {\frac{1}{2}\times b} & {=} & {-\frac{1}{2}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {-b} \\ { b} & {=} & {-1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {1} \\ { b} & {=} & {-1} \end{array}\right.$$
Comme $$f\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{-x+2,5}$$ alors

Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x-1$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x+2,5}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x+2,5}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times e^{-x+2,5} +\left(x-1\right)\times \left(-e^{-x+2,5} \right)$$
$$f'\left(x\right)=e^{-x+2,5} +\left(x-1\right)\times \left(-e^{-x+2,5} \right)$$
$$f'\left(x\right)=e^{-x+2,5} -xe^{-x+2,5} +e^{-x+2,5}$$
$$f'\left(x\right)= -xe^{-x+2,5} +2e^{-x+2,5}$$

Pour tout réel $$x$$, on sait que $$e^{-x+2,5}>0$$. Il en résulte donc que le signe de $$f'$$ dépend de $$-x+2$$.
Or :
$$-x+2\ge 0\Leftrightarrow -x\ge -2\Leftrightarrow x\le \frac{-2}{-1}\Leftrightarrow x\le 2$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;2\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[2;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

De plus, $$f\left(2\right)=\left(2-1\right)e^{-2+2,5}$$ d'où $$f\left(2\right)=e^{0,5}$$
Nous allons donner ci-dessous le tableau de variation complet de $$f$$.

Soit : $$F\left(x\right)=-xe^{-x+2,5}$$
On reconnaît la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x+2,5}$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x+2,5}$$.
Il vient alors que :
$$F'\left(x\right)=-1\times e^{-x+2,5} -x\times \left(-e^{-x+2,5} \right)$$
$$F'\left(x\right)=-e^{-x+2,5} +xe^{-x+2,5}$$
$$F'\left(x\right)=e^{-x+2,5} \left(x-1\right)$$

Nous avons bien vérifié qu’une primitive $$F$$ de la fonction $$f$$ sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$ est la fonction définie par : $$F\left(x\right)=-xe^{-x+2,5}$$

$$J=\int _{1}^{2,5}f\left(x\right)dx$$
$$J=F\left(2,5\right)-F\left(1\right)$$
$$J=-2,5e^{-2,5+2,5} -\left(-e^{-1+2,5} \right)$$
$$J=-2,5e^{0} +e^{1,5}$$