La fonction exponentielle

Exercices types : 11ère partie

Exercice 1

Soit ff la fonction définie sur [5;4]\left[-5;4\right] par f(x)=(x25x+1)exf\left(x\right)=\left(x^{2}-5x+1\right)e^{x}. On note CfC_{f} sa courbe représentative.
1

Etudiez les variations de ff.

Correction
2

Démontrez que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution α[5;4]\alpha \in \left[-5;4\right].
Donnez un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
3

En déduire le signe de ff sur [5;4]\left[-5;4\right].

Correction
4

Déterminer une équation de la tangente TT à la courbe CfC_{f} au point d’abscisse 00.

Correction

Exercice 2

Soit gg la fonction définie sur ];+[\left]-\infty;+\infty\right[ par g(x)=exx+1g\left(x\right)=e^{x}-x+1. On note CgC_{g} sa courbe représentative.
1

Etudiez les variations de gg. Calculer g(0)g\left(0\right) et en déduire le signe de gg.

Correction
On considère maintenant ff la fonction définie sur [1;+[\left[-1;+\infty\right[ par f(x)=x+1+xexf\left(x\right)=x+1+ \frac{x}{e^{x}}. On note CfC_{f} sa courbe représentative.
2

Montrer que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [1;+[\left[-1;+\infty\right[, on a : f(x)=g(x)exf'\left(x\right)= \frac{g\left(x\right)}{e^{x}}

Correction
3

En déduire les variations de la fonction ff.

Correction
4

Démontrez que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution α[1;0]\alpha \in \left[-1;0\right].
Donnez un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
5

En déduire le signe de ff sur [1;+[\left[-1;+\infty\right[.

Correction

Exercice 3

Soit gg la fonction définie sur [10;3]\left[-10;3 \right] par g(x)=(x+1)e2x+3g\left(x\right)=\left(-x+1\right)e^{2x} +3
1

Etudiez les variations de gg.

Correction
2

Démontrez que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution α[10;3]\alpha \in \left[-10;3 \right].
Donnez un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
3

En déduire le signe de gg sur [10;3]\left[-10;3 \right].

Correction
Soit ff la fonction définie sur [10;3]\left[-10;3 \right] par f(x)=(x+32)e2x+6x1f\left(x\right)=\left(-x+\frac{3}{2} \right)e^{2x} +6x-1 .
4

Démontrer que, pour tout réel xx, f(x)f'\left(x\right) s'exprime en fonction de g(x)g\left(x\right).

Correction
5

Etudier le sens de variations de la fonction ff.

Correction

Exercice 4

PARTIE A.
On considère la fonction ff définie et dérivable sur l’intervalle [1;25]\left[1;25 \right] par f(x)=10e0,2x+1xf\left(x\right)=10-\frac{e^{0,2x+1}}{x}.
Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l’on pourra utiliser :
1

Retrouver par le calcul l’expression factorisée de f(x)f'\left(x\right)ff' est la fonction dérivée de ff .

Correction
2

Étudier le signe de ff' sur l’intervalle [1;25]\left[1;25 \right] et dresser le tableau de variation de ff sur l’intervalle [1;25]\left[1;25 \right]. On arrondira les valeurs au millième.

Correction
3

Démontrez que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution α[1;25]\alpha \in \left[1;25 \right].
Donnez un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
4

En utilisant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, justifier que la fonction ff est concave sur l’intervalle [1;25]\left[1;25 \right].

Correction
PARTIE B.
Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s’intéresse au bénéfice réalisé, en millier d’euros, correspondant à la production d’une quantité de xx dizaines de tonnes d’aliments. On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction ff étudiée dans la partie AA ci-dessus. La production minimale est de 1010 tonnes, ainsi x>1x >1. Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie AA.
5

Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société? Pour quelle quantité d’aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu?

Correction
6

Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d’aliments qu’il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice.

Correction
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