On considère une fonction f définie sur l'intervalle [−2;3] par : f(x)=aex+bx+c, où a, b et c sont des réels fixés. Une partie de la courbe C représentative de f est représentée ci-dessous :
On dispose des renseignements suivants :
C passe par A(0;1).
B est le point de coordonnées (1;3).
La droite (AB) est tangente à C au point A.
C admet une tangente horizontale au point D d'abscisse ln(3).
Question 1
On désigne par f′ la dérivée de la fonction f. Traduire les renseignements précédents par trois égalités utilisant f ou f′.
Correction
C passe par A(0;1) alors f(0)=1.
B est le point de coordonnées (1;3) alors f(1)=3.
la droite (AB) est tangente à C au point A.
Donc le coefficient directeur de la droite (AB) est le nombre dérivé au point d'abscisse 0. Ainsi le coefficient directeur de (AB) correspond à f′(0). f′(0)=xB−xAyB−yA=1−03−1=2 C admet une tangente horizontale au point D d'abscisse ln(3) signifie que : f′(ln(3))=0
Question 2
En résolvant un système, déterminer a, b et c.
Correction
f est dérivable sur [−2;3], il vient alors que f′(x)=aex+b.
f(0)=1 ce qui implique que ae0+b×0+c=1, on a donc
a+c=1
f′(0)=2 ce qui implique que ae0+b=2, on a donc
a+b=2
f′(ln(3))=0 ce qui implique que aeln(3)+b=2, on a donc
3a+b=2
Nous avons ainsi trois équations qui permettent d'écrire un système que nous allons résoudre. Les nombres a, b et c, vérifient donc le système : ⎩⎨⎧aa3a+++cbb===120 Avec la deuxième ligne du système, on va exprimer b en fonction de a. ⎩⎨⎧a3a++cbb===12−a0 On va maintenant remplacer le b de la ligne 3 par la valeur 2−a. ⎩⎨⎧a3a++cb2−a===12−a0 ⎩⎨⎧a2a++cb2===12−a0 ⎩⎨⎧a+cb2a===12−a−2 ⎩⎨⎧a+cba===12−a−1 On peut maintenant trouver la valeur de b et de c grâce à la valeur a. ⎩⎨⎧cba===23−1 On admet à partir de maintenant que f(x)=−ex+3x+2.
Question 3
Etudier les variations de f sur l'intervalle [−2;3].
Correction
f est dérivable sur [−2;3] , donc f′(x)=−ex+3 D'où :
f′(x)=0⇔ex=3⇔x=ln(3);
f′(x)<0⇔ex>3⇔x>ln(3);
f′(x)>0⇔ex<3⇔x<ln(3);
La fonction f est donc croissante sur [−2;ln(3)] et f est décroissante sur [ln(3);3]. De plus, le maximum de la fonction f sur l'intervalle [−2;3] est atteint pour x=ln(3). Ainsi : f(ln3)=−eln3+3ln(3)+2 f(ln3)=−3+3ln(3)+2=3ln(3)−1 De plus : f(−2)=−e−2+3×(−2)+2=−e−2−4 f(3)=−e3+3×3+2=−e3+11 Nous allons traduire toutes ces infirmations dans un tableau de variation :
Question 4
Montrer que f s'annule exactement une fois sur [−2;ln(3)] en un réel α. Donner, en justifiant, un encadrement au centième près de α.
Correction
Sur [−2;ln(3)], la fonction f est continue et strictement croissante. De plus, f(−2)=−e−2−4<0 et f(ln3)=3ln(3)−1>0 . Or 0∈[−e−2−4;3ln(3)−1], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α dans [−2;ln(3)] tel que f(x)=0. La calculatrice donne : f(−1)≈−1,4 etf(0)=1, donc −1<α<0; f(−0,5)≈−0,1 etf(−0,4)≈0,13, donc −0,5<α<−0,4; f(−0,46)≈−0,01et f(−0,45)≈0,012, donc −0,46<α<−0,45.
Question 5
Pour la suite, on admet que f s'annule exactement une fois sur [ln(3);3]; en un réel β. Déterminer le signe de f sur l'intervalle [−2;3].
Correction
Comme f décroit sur [ln3;3]et s'annule en β, on a donc :
f(x)>0 sur ]α;β[;
f(x)<0 sur ]−2;α[ et ]β;3[;
f(α)=f(β)=0.
On traduit cela par un tableau de signe :
Question 6
Déterminer une primitive de f sur l'intervalle [−2;3].
Correction
Une primitive sur de x↦−ex est x↦−ex, donc une primitive sur [−2;3] de x↦f(x) est x↦F(x)=−ex+23x2+2x On considère la surface S délimitée par l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses, la courbe C et la droite d'équation x=ln3.
Question 7
Déterminer, en justifiant avec soin, l'aire de S, en unités d'aire. On donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au centième.
Correction
On a vu que sur l'intervalle [0;ln(3)], f(x)>0, donc l'aire de la surface délimitée par l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses, la courbe C et la droite d'équation x=ln(3) est égale, en unités d'aire à l'intégrale : ∫0ln(3)f(x)dx=F(ln(3))−F(0) ∫0ln(3)f(x)dx=−eln(3)+23(ln(3))2+2ln(3)−(−e0+23×02+2×0) ∫0ln(3)f(x)dx=−3+23(ln(3))2+2ln(3)−(−1) ∫0ln(3)f(x)dx=−3+23(ln(3))2+2ln(3)+1
∫0ln(3)f(x)dx=−2+23(ln(3))2+2ln(3)
. Ici, il s'agit de la valeur exacte.
∫0ln(3)f(x)dx≈2,01
. Ici, il s'agit de la valeur arrondie au centième près.