La fonction exponentielle

Exercice 6 - Exercice 1

1 min
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On considère une fonction ff définie sur l'intervalle [2;3]\left[-2;3\right] par : f(x)=aex+bx+cf\left(x\right)=ae^{x} +bx+c, où aa, bb et cc sont des réels fixés.
Une partie de la courbe CC représentative de ff est représentée ci-dessous :

On dispose des renseignements suivants :
  • CC passe par A(0;1)A\left(0;1\right).
  • BB est le point de coordonnées (1;3)\left(1;3\right).
  • La droite (AB)\left(AB\right) est tangente à CC au point AA.
  • CC admet une tangente horizontale au point D d'abscisse ln(3)\ln \left(3\right).
Question 1

On désigne par ff' la dérivée de la fonction ff.
Traduire les renseignements précédents par trois égalités utilisant ff ou ff'.

Correction
  • CC passe par A(0;1)A\left(0;1\right) alors f(0)=1f\left(0\right)=1.
  • BB est le point de coordonnées (1;3)\left(1;3\right) alors f(1)=3f\left(1\right)=3.
  • la droite (AB)\left(AB\right) est tangente à CC au point AA.
Donc le coefficient directeur de la droite (AB)\left(AB\right) est le nombre dérivé au point d'abscisse 0.
Ainsi le coefficient directeur de (AB)\left(AB\right) correspond à f(0)f'(0).
f(0)=yByAxBxA=3110=2f'\left(0\right)=\frac{y_{B} -y_{A} }{x_{B} -x_{A} } =\frac{3-1}{1-0} =2
CC admet une tangente horizontale au point DD d'abscisse ln(3)\ln \left(3\right) signifie que : f(ln(3))=0f'\left(\ln \left(3\right)\right)=0
Question 2

En résolvant un système, déterminer aa, bb et cc.

Correction
ff est dérivable sur [2;3]\left[-2;3\right], il vient alors que f(x)=aex+bf'\left(x\right)=ae^{x} +b.
  • f(0)=1f\left(0\right)=1 ce qui implique que ae0+b×0+c=1ae^{0} +b\times 0+c=1, on a donc
    a+c=1a+c=1
  • f(0)=2f'\left({\text 0}\right)=2 ce qui implique que ae0+b=2ae^{0} +b=2, on a donc
    a+b=2a+b=2
  • f(ln(3))=0f'\left({\text ln}\left({\text 3}\right)\right)={\text 0} ce qui implique que aeln(3)+b=2ae^{\ln \left(3\right)} +b=2, on a donc
    3a+b=23a+b=2

Nous avons ainsi trois équations qui permettent d'écrire un système que nous allons résoudre.
Les nombres aa, bb et cc, vérifient donc le système :
{a+c=1a+b=23a+b=0\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {c} & {=} & {1} \\ {a} & {+} & {b} & {=} & {2} \\ {3a} & {+} & {b} & {=} & {0} \end{array}\right.
Avec la deuxième ligne du système, on va exprimer bb en fonction de aa.
{a+c=1b=2a3a+b=0\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {c} & {=} & {1} \\ {} & {} & {b} & {=} & {2-a} \\ {3a} & {+} & {b} & {=} & {0} \end{array}\right.
On va maintenant remplacer le bb de la ligne 3 par la valeur 2a2-a.
{a+c=1b=2a3a+2a=0\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {c} & {=} & {1} \\ {} & {} & {b} & {=} & {2-a} \\ {3a} & {+} & {2-a} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a+c=1b=2a2a+2=0\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {c} & {=} & {1} \\ {} & {} & {b} & {=} & {2-a} \\ {2a} & {+} & {2} & {=} & {0} \end{array}\right.
{a+c=1b=2a2a=2\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {c} & {=} & {1} \\ {} & {} & {b} & {=} & {2-a} \\ {} & {} & {2a} & {=} & {-2} \end{array}\right.
{a+c=1b=2aa=1\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {c} & {=} & {1} \\ {} & {} & {b} & {=} & {2-a} \\ {} & {} & {a} & {=} & {-1} \end{array}\right.
On peut maintenant trouver la valeur de bb et de cc grâce à la valeur aa.
{c=2b=3a=1\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {3} \\ {a} & {=} & {-1} \end{array}\right.
On admet à partir de maintenant que f(x)=ex+3x+2f\left(x\right)=-e^{x} +3x+2.
Question 3

Etudier les variations de ff sur l'intervalle [2;3]\left[-2;3\right].

Correction
ff est dérivable sur [2;3]\left[-2;3\right] , donc f(x)=ex+3f'\left(x\right)=-e^{x} +3
D'où :
  • f(x)=0ex=3x=ln(3)f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow e^{x} =3\Leftrightarrow x=\ln \left(3\right);
  • f(x)<0ex>3x>ln(3)f'\left(x\right)<0\Leftrightarrow e^{x} >3\Leftrightarrow x>\ln \left(3\right);
  • f(x)>0ex<3x<ln(3)f'\left(x\right)>0\Leftrightarrow e^{x} <3\Leftrightarrow x<\ln \left(3\right);

La fonction ff est donc croissante sur [2;ln(3)]\left[-2;\ln \left(3\right)\right] et ff est décroissante sur [ln(3);3]\left[\ln \left(3\right);3\right].
De plus, le maximum de la fonction ff sur l'intervalle [2;3]\left[-2;3\right] est atteint pour x=ln(3)x=\ln \left(3\right).
Ainsi :
f(ln3)=eln3+3ln(3)+2f\left(\ln 3\right)=-e^{\ln 3} +3\ln \left(3\right)+2
f(ln3)=3+3ln(3)+2=3ln(3)1f\left(\ln 3\right)=-3+3\ln \left(3\right)+2=3\ln \left(3\right)-1
De plus :
f(2)=e2+3×(2)+2=e24f\left(-2\right)=-e^{-2} +3\times \left(-2\right)+2=-e^{-2} -4
f(3)=e3+3×3+2=e3+11f\left(3\right)=-e^{3} +3\times 3+2=-e^{3} +11
Nous allons traduire toutes ces infirmations dans un tableau de variation :
Question 4

Montrer que ff s'annule exactement une fois sur [2;ln(3)]\left[-2;ln\left(3\right)\right] en un réel α\alpha .
Donner, en justifiant, un encadrement au centième près de α\alpha .

Correction
Sur [2;ln(3)]\left[-2;ln\left(3\right)\right], la fonction ff est continue et strictement croissante.
De plus, f(2)=e24<0f\left(-2\right)=-e^{-2} -4<0 et f(ln3)=3ln(3)1>0f\left(\ln 3\right)=3\ln \left(3\right)-1>0 .
Or 0[e24;3ln(3)1]0\in \left[-e^{-2} -4;3\ln \left(3\right)-1\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans [2;ln(3)]\left[-2;ln\left({\text 3}\right)\right] tel que f(x)=0f\left(x\right)=0.
La calculatrice donne :
f(1)1,4f\left(-1\right)\approx -1,4 etf(0)=1f\left({\text 0}\right)=1, donc 1<α<0-1<\alpha <0;
f(0,5)0,1f\left(-0,5\right)\approx -0,1 etf(0,4)0,13f\left(-0,4\right)\approx 0,13, donc 0,5<α<0,4-0,5<\alpha <-0,4;
f(0,46)0,01f\left(-0,46\right)\approx -0,01et f(0,45)0,012f(-0,45)\approx 0,012, donc 0,46<α<0,45-0,46<\alpha <-0,45.
Question 5

Pour la suite, on admet que ff s'annule exactement une fois sur [ln(3);3]\left[\ln \left(3\right);3\right]; en un réel β\beta .
Déterminer le signe de ff sur l'intervalle [2;3]\left[-2;3\right].

Correction
Comme ff décroit sur [ln3;3]\left[\ln 3;3\right]et s'annule en β\beta , on a donc :
  • f(x)>0f\left(x\right)>0 sur ]α;β[\left]\alpha ;\beta \right[;
  • f(x)<0f\left(x\right)<0 sur ]2;α[\left]-2;\alpha \right[ et ]β;3[\left]\beta ;3\right[;
  • f(α)=f(β)=0.f(\alpha )=f(\beta )=0.

On traduit cela par un tableau de signe :
Question 6

Déterminer une primitive de ff sur l'intervalle [2;3]\left[-2;3\right].

Correction
Une primitive sur de xexx\mapsto -e^{x} est xexx\mapsto -e^{x} , donc une primitive sur [2;3]\left[-2;3\right] de xf(x)x\mapsto f\left(x\right) est xF(x)=ex+3x22+2xx\mapsto F\left(x\right)=-e^{x} +\frac{3x^{2} }{2} +2x
On considère la surface SS délimitée par l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses, la courbe CC et la droite d'équation x=ln3x=\ln 3.
Question 7

Déterminer, en justifiant avec soin, l'aire de SS, en unités d'aire.
On donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au centième.

Correction
On a vu que sur l'intervalle [0;ln(3)]\left[0;ln\left({\text 3}\right)\right], f(x)>0f\left(x\right)>0, donc l'aire de la surface délimitée par l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses, la courbe CC et la droite d'équation x=ln(3)x=\ln \left(3\right) est égale, en unités d'aire à l'intégrale :
0ln(3)f(x)dx=F(ln(3))F(0)\int _{0}^{\ln \left(3\right)}f\left(x\right)dx =F\left(\ln \left(3\right)\right)-F\left(0\right)
0ln(3)f(x)dx=eln(3)+3(ln(3))22+2ln(3)(e0+3×022+2×0)\int _{0}^{\ln \left(3\right)}f\left(x\right)dx =-e^{\ln \left(3\right)} +\frac{3\left(\ln \left(3\right)\right)^{2} }{2} +2\ln \left(3\right)-\left(-e^{0} +\frac{3\times 0^{2} }{2} +2\times 0\right)
0ln(3)f(x)dx=3+3(ln(3))22+2ln(3)(1)\int _{0}^{\ln \left(3\right)}f\left(x\right)dx =-3+\frac{3\left(\ln \left(3\right)\right)^{2} }{2} +2\ln \left(3\right)-\left(-1\right)
0ln(3)f(x)dx=3+3(ln(3))22+2ln(3)+1\int _{0}^{\ln \left(3\right)}f\left(x\right)dx =-3+\frac{3\left(\ln \left(3\right)\right)^{2} }{2} +2\ln \left(3\right)+1
0ln(3)f(x)dx=2+3(ln(3))22+2ln(3)\int _{0}^{\ln \left(3\right)}f\left(x\right)dx =-2+\frac{3\left(\ln \left(3\right)\right)^{2} }{2} +2\ln \left(3\right)
. Ici, il s'agit de la valeur exacte.
0ln(3)f(x)dx2,01\int _{0}^{\ln \left(3\right)}f\left(x\right)dx \approx 2,01
. Ici, il s'agit de la valeur arrondie au centième près.