La fonction exponentielle

Exercice 5 - Exercice 1

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Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d'un produit « alpha » fabriqué par une entreprise.
Toute l'étude porte sur un mois complet de production.
Le coût marginal de fabrication du produit « alpha » par l'entreprise est modélisé par la fonction CmC_{m} définie sur l'intervalle [1;20]\left[1;20\right] par Cm(q)=4+(0,2q22q)e0,2qC_{m} (q)=4+\left(0,2q^{2} -2q\right)e^{-0,2q}
qq étant la quantité exprimée en tonnes et Cm(q)C_{m} (q) son coût exprimé en milliers d'euros.
Question 1

La fonction coût total est modélisée par la fonction CTC_{T} définie sur l'intervalle [1;20]\left[1;20\right] par : CT(q)=4qq2e0,2qC_{T} (q)=4q-q^{2} e^{-0,2q} .
Vérifier que cette fonction CTC_{T} est une primitive de la fonction CmC_{m} sur l'intervalle [1;20]\left[1;20\right].

Correction
La fonction CTC_{T} est dérivable sur l'intervalle [1;20]\left[1;20\right] .
Il faut vérifier que CT(q)=Cm(q)C'_{T} \left(q\right)=C_{m} \left(q\right) et dans ce cas CTC_{T} est une primitive de la fonction CmC_{m} .
On reconnait la forme (uv)=uvuv\left(uv\right)^{'} =u'v-uv' avec u(q)=q2u\left(q\right)=-q^{2} et v(q)=0,2e0,2qv\left(q\right)=-0,2e^{-0,2q} .
Ainsi u(q)=2qu'\left(q\right)=-2q et v(q)=0,2e0,2qv'\left(q\right)=-0,2e^{-0,2q}
CT(q)=42q0,2qq2×(0,2)e0,2qC'_{T} \left(q\right)=4-2q^{-0,2q} -q^{2} \times \left(-0,2\right)e^{-0,2q}
CT(q)=42q0,2q+0,2q2e0,2qC'_{T} \left(q\right)=4-2q^{-0,2q} +0,2q^{2} e^{-0,2q}
CT(q)=4+(0,2q22q)e0,2qC'_{T} \left(q\right)=4+\left(0,2q^{2} -2q\right)e^{-0,2q}
CT(q)=Cm(q)C'_{T} \left(q\right)=C_{m} \left(q\right)

Cette dernière égalité montre que CTC_{T} est une primitive de CmC_{m} sur [1;20]\left[1;20\right].
Question 2

La fonction coût moyen, noté CMC_{M} , est la fonction définie sur l'intervalle [1;20]\left[1;20\right] par : CM(q)=CT(q)q.C_{M} \left(q\right)=\frac{C_{T} \left(q\right)}{q} .
Vérifier que CM(q)=4qe0,2qC_{M} \left(q\right)=4-qe^{-0,2q} .

Correction
CM(q)=CT(q)qC_{M} \left(q\right)=\frac{C_{T} \left(q\right)}{q} équivaut successivement
CM(q)=4qq2e0,2qqC_{M} \left(q\right)=\frac{4q-q^{2} e^{-0,2q} }{q}
CM(q)=4qq+q2e0,2qqC_{M} \left(q\right)=\frac{4q}{q} +\frac{q^{2} e^{-0,2q} }{q}
CM(q)=4qe0,2qC_{M} \left(q\right)=4-qe^{-0,2q}
Question 3

Déterminer la fonction dérivée CMC'_{M} de la fonction CMC_{M} .
Dresser le tableau de variation de la fonction CMC_{M} .

Correction
La fonction CMC_{M} est dérivable sur [1;20]\left[1;20\right] .
On reconnait la forme (uv)=uvuv\left(uv\right)^{'} =u'v-uv' avec u(q)=qu\left(q\right)=-q et v(q)=0,2e0,2qv\left(q\right)=-0,2e^{-0,2q} .
Ainsi u(q)=1u'\left(q\right)=-1 et v(q)=0,2e0,2qv'\left(q\right)=-0,2e^{-0,2q} .
CM(q)=e0,2qq×(0,2)e0,2qC'_{M} \left(q\right)=-e^{-0,2q} -q\times \left(-0,2\right)e^{-0,2q}
CM(q)=e0,2q(0,2q1)C'_{M} \left(q\right)=e^{-0,2q} \left(0,2q-1\right)

Pour tout réel q[1  ;  20]q\in \left[{\text 1\; ;\; 20}\right], on a e0,2q>0e^{-0,2q} >0.
De plus,
0,2q100,2q-1\ge 0 équivaut successivement à
0,2q10,2q\ge 1
q10,2q\ge \frac{1}{0,2}
q5q\ge 5
Il en résulte donc que :
  • si q[1;5]q\in\left[1;5\right] alors CM(q)0C'_{M} \left(q\right)\le0 et donc CMC_{M} est décroissante sur cet intervalle.
  • si q[5;20]q\in\left[5;20\right] alors CM(q)0C'_{M} \left(q\right)\ge0 et donc CMC_{M} est croissante sur cet intervalle.
On en déduit le tableau de variation suivant :
Question 4

Pour quelle production mensuelle q0q_{0} (exprimée en tonnes) l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal ?
Quel est ce coût ?
Pour cette production q0q_{0} , quelle est la valeur du coût marginal ?

Correction
La fonction CMC_{M} a donc un minimum pour q0=5q_{0} =5 égal à CM(5)=45e0,2×5=45e12,1606C_{M} \left(5\right)=4-5e^{-0,2\times 5} =4-5e^{-1} \approx 2,1606 soit environ 21612 161 euros.
Question 5

On suppose que l'entreprise vend toute sa production mensuelle.
Chaque tonne du produit « alpha » est vendu 40004 000 euros.
On désigne par R(q)R(q) la recette mensuelle obtenue pour la vente de qq tonnes du produit « alpha » et par B(q)B(q) le bénéfice mensuel en millier d'euros ainsi réalisé.
Les représentations graphiques des fonctions recette et coût total sont données dans le graphique ci-dessous.

Estimer graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l'on peut espérer sur le mois étudié.

Correction
Il faut trouver le bénéfice le plus grand sur la plage [1;20]\left[1;20\right], soit si on appelle CC et RR les points intersections de la droite verticale d'équation x=qx=q avec la fonction coût et la fonction recette, le segment [CR]\left[{\text CR}\right] le plus long.
On peut trouver visuellement que ceci se produit entre 99 et 1111 et pour 1010 le segment mesure plus de 5×2,5×1000=125005\times 2,5\times 1000=12500.
La recette est définie par R(q)=4qR(q)=4q soit une recette marginale de 44 (soit 40004 000 euros la tonne).
On compare le prix de vente au coût marginal : tant qu'il est plus grand on peut augmenter la production et le profit augmente.
Quand le coût marginal est supérieur au prix de vente, l'augmentation de la produira conduira à une diminution du bénéfice.
On aura donc un profit maximal quand le coût marginal est égal au prix de vente.
Pour chaque point de la courbe coût total, le coût marginal est représenté par le coefficient directeur de la tangente à la courbe coût total.
Conclusion
Il faut trouver un point de la courbe où la tangente a un coefficient directeur de 44.
Avec la précision permise par la figure, on constate bien que c'est pour q=10q=10 soit un bénéfice maximal de :
B(10)=4×10(4×10102e0,2×10)B\left(10\right)=4\times 10-\left(4\times 10-10^{2} e^{-0,2\times 10} \right)
B(10)=100e2B\left(10\right)=100e^{-2}
B(10)13,534B\left(10\right)\approx 13,534

Soit un bénéfice de 1353413 534 euros.