La fonction exponentielle

Exercice 5

Exercice 1

Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d'un produit « alpha » fabriqué par une entreprise.
Toute l'étude porte sur un mois complet de production.
Le coût marginal de fabrication du produit « alpha » par l'entreprise est modélisé par la fonction CmC_{m} définie sur l'intervalle [1;20]\left[1;20\right] par Cm(q)=4+(0,2q22q)e0,2qC_{m} (q)=4+\left(0,2q^{2} -2q\right)e^{-0,2q}
qq étant la quantité exprimée en tonnes et Cm(q)C_{m} (q) son coût exprimé en milliers d'euros.
1

La fonction coût total est modélisée par la fonction CTC_{T} définie sur l'intervalle [1;20]\left[1;20\right] par : CT(q)=4qq2e0,2qC_{T} (q)=4q-q^{2} e^{-0,2q} .
Vérifier que cette fonction CTC_{T} est une primitive de la fonction CmC_{m} sur l'intervalle [1;20]\left[1;20\right].

Correction
2

La fonction coût moyen, noté CMC_{M} , est la fonction définie sur l'intervalle [1;20]\left[1;20\right] par : CM(q)=CT(q)q.C_{M} \left(q\right)=\frac{C_{T} \left(q\right)}{q} .
Vérifier que CM(q)=4qe0,2qC_{M} \left(q\right)=4-qe^{-0,2q} .

Correction
3

Déterminer la fonction dérivée CMC'_{M} de la fonction CMC_{M} .
Dresser le tableau de variation de la fonction CMC_{M} .

Correction
4

Pour quelle production mensuelle q0q_{0} (exprimée en tonnes) l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal ?
Quel est ce coût ?
Pour cette production q0q_{0} , quelle est la valeur du coût marginal ?

Correction
5

On suppose que l'entreprise vend toute sa production mensuelle.
Chaque tonne du produit « alpha » est vendu 40004 000 euros.
On désigne par R(q)R(q) la recette mensuelle obtenue pour la vente de qq tonnes du produit « alpha » et par B(q)B(q) le bénéfice mensuel en millier d'euros ainsi réalisé.
Les représentations graphiques des fonctions recette et coût total sont données dans le graphique ci-dessous.

Estimer graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l'on peut espérer sur le mois étudié.

Correction
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