La fonction exponentielle

Exercice 4

Exercice 1

La courbe C \mathscr{C} ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction ff définie et dérivable sur l'intervalle [4;3]\left[-4; 3\right].
Les points A d'abscisse 3-3 et C\mathscr{C} sont sur la courbe C\mathscr{C}.
Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe C\mathscr{C} respectivement aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale.
On note ff' la fonction dérivée de ff .
Les parties AA et BB sont indépendantes.
Partie A
Par lecture graphique déterminer :
1

f(3)f'\left(-3\right)

Correction
2

f(0)f\left(0\right) et f(0)f'\left(0\right)

Correction
La fonction ff est définie sur [4;3]\left[-4;3\right] par :
f(x)=a+(x+b)exf\left(x\right)=a+\left(x+b\right)e^{-x}
aa et bb sont deux réels que l'on va déterminer dans cette partie.
3

Calculer f(x)f'\left(x\right) pour tout réel xx de [4;3]\left[-4;3\right].

Correction
4

A l'aide des questions 22 et 33, montrer que les nombres aa et bb vérifient le système suivant :
{a+b=21b=3\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {+} & {b} & {=} & {2} \\ {1} & {-} & {b} & {=} & {-3} \end{array}\right.

Correction
5

Déterminer alors les valeurs des nombres aa et bb.

Correction
Partie B
On admet que la fonction ff est définie sur [4;3]\left[-4;3\right] par : f(x)=2+(x+4)ex.f\left(x\right)=-2+\left(x+4\right)e^{-x} .
6

Justifier que, pour tout réel xx de [4;3]\left[-4;3\right], f(x)=(x3)exf'\left(x\right)=\left(-x-3\right)e^{-x} et en déduire le tableau de variation de ff sur [4;3]\left[-4;3\right].

Correction
7

Montrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solutions α\alpha sur[3;3]\left[-3;3\right], puis donner une valeur approchée de α\alpha à 0,010,01 près par défaut.

Correction
On souhaite calculer l'aire SS, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe C\mathscr{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=3x=-3 et x=0x=0.
8

Exprimer, en justifiant, cette aire à l'aide d'une intégrale.

Correction
Soit F(x)=2x+(x5)ex.F\left(x\right)=-2x+\left(-x-5\right)e^{-x}.
9

Montrer que FF est bien une primitive de ff. Calculer ensuite A=-30f(x)dxA=\int _{{\text -3}}^{0}f\left(x\right)dx

Correction
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