La fonction exponentielle

Exercice 3 - Exercice 1

1 min
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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question posée, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
Question 1

Le réel A=3eln⁡(2)×e−ln⁡(6)2eln⁡(12)A=\frac{3e^{\ln \left(2\right)} \times e^{-\ln \left(6\right)} }{2e^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)} } est égale à :
  • −36-36
  • 11
  • ln⁡(6)\ln \left(6\right)

Correction
La bonne réponse est a.
eln⁡(a)=ae^{\ln \left(a\right)} =a et e−ln⁡(a)=1eln⁡(a)=1ae^{-\ln \left(a\right)} =\frac{1}{e^{\ln \left(a\right)} } =\frac{1}{a}

A=3eln⁡(2)×e−ln⁡(6)2eln⁡(12)A=\frac{3e^{\ln \left(2\right)} \times e^{-\ln \left(6\right)} }{2e^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)} } équivaut successivement à
A=3eln⁡(2)×1eln⁡(6)2eln⁡(12)A=\frac{3e^{\ln \left(2\right)} \times \frac{1}{e^{\ln \left(6\right)} } }{2e^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)} }
A=3×2×162×12A=\frac{3\times 2\times \frac{1}{6} }{2\times \frac{1}{2} }
A=1A=1
Question 2

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−e3x−x33f\left(x\right)=-e^{3x} -\frac{x^{3} }{3} .
La tangente à la courbe représentative de ff au point d'abscisse 00 est :
  • y=−3x−1y=-3x-1
  • y=−3x+1y=-3x+1
  • y=3x−1y=3x-1

Correction
La bonne réponse est a.
La formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse aa est y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)
Il vient alors que y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)
Calculons, tout d'abord, la dérivée de ff. On a :
f(x)=−e3x−x33=−e3x−13x3f\left(x\right)=-e^{3x} -\frac{x^{3} }{3} =-e^{3x} -\frac{1}{3} x^{3} (on écrit ff de manière plus simple pour faire ensuite la dérivée).
f′(x)=−3e3x−13×3x2f'\left(x\right)=-3e^{3x} -\frac{1}{3} \times 3x^{2}
f′(x)=−3e3x−x2f'\left(x\right)=-3e^{3x} -x^{2}
Ensuite,
f′(0)=−3e3×0−02=−3f'\left(0\right)=-3e^{3\times 0} -0^{2} =-3
f(0)=−e3×0−033=−1f\left(0\right)=-e^{3\times 0} -\frac{0^{3} }{3} =-1
Or y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right), d'où
y=−3(x−0)−1y=-3\left(x-0\right)-1
y=−3x−1y=-3x-1
Question 3

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e−x+1ex+1f\left(x\right)=\frac{e^{-x} +1}{e^{x} +1} .
La dérivée de ff notée f′f' est :
  • f′(x)=−e−xexf'\left(x\right)=\frac{-e^{-x} }{e^{x} }
  • f′(x)=e−x−ex(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{-x} -e^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
  • f′(x)=−2−e−x−ex(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2-e^{-x} -e^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }

Correction
La bonne réponse est a.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=e−x+1u\left(x\right)=e^{-x} +1 et v(x)=ex+1v\left(x\right)=e^{x} +1.
Ainsi u′(x)=−e−xu'\left(x\right)=-e^{-x} et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il en résulte que :
f′(x)=−e−x(ex+1)−(e−x+1)ex(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{-e^{-x} \left(e^{x} +1\right)-\left(e^{-x} +1\right)e^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} } équivaut successivement à
f′(x)=−e−x×ex−e−x−(e−x×ex+ex)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{-e^{-x} \times e^{x} -e^{-x} -\left(e^{-x} \times e^{x} +e^{x} \right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
f′(x)=−e−x+x−e−x−(e−x+x+ex)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{-e^{-x+x} -e^{-x} -\left(e^{-x+x} +e^{x} \right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
f′(x)=−e0−e−x−(e0+ex)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{-e^{0} -e^{-x} -\left(e^{0} +e^{x} \right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
f′(x)=−1−e−x−(1+ex)(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{-1-e^{-x} -\left(1+e^{x} \right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
f′(x)=−1−e−x−1−ex(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{-1-e^{-x} -1-e^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
f′(x)=−2−e−x−ex(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2-e^{-x} -e^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
Question 4

L'équation (x2−1)e−3x+1=0\left(x^{2} -1\right)e^{-3x+1} =0 admet :
  • Aucune solution réelle
  • 11 solution réelle
  • 22 solutions réelles

Correction
La bonne réponse est c.
Résolvons (x2−1)e−3x+1=0\left(x^{2} -1\right)e^{-3x+1} =0.
Il s'agit d'une équation produit nul.
Ainsi :
x2−1=0x^{2} -1=0 ou e−3x+1=0e^{-3x+1} =0.
D'une part : e−3x+1=0e^{-3x+1} =0.
Cette équation n'a pas de solution car une exponentielle est strictement positive.
D'autre part : x2−1=0x^{2} -1=0.
Il s'agit d'une équation du second degré.
On utilise le discriminant.
On trouve facilement x1=1x_{1} =1 et x2=−1x_{2} =-1.
Il y a donc deux solutions réelles à l'équation (x2−1)e−3x+1=0\left(x^{2} -1\right)e^{-3x+1} =0 qui sont
x1=1x_{1} =1 et x2=−1x_{2} =-1
Question 5

L'intégrale I=∫022e5x+1dxI=\int _{0}^{2}2e^{5x+1} dx est égale à :
  • I=2(e11−e1)I=2\left(e^{11} -e^{1} \right)
  • I=25(e11−e1)I=\frac{2}{5} \left(e^{11} -e^{1} \right)
  • I=25(e1−e11)I=\frac{2}{5} \left(e^{1} -e^{11} \right)

Correction
La bonne réponse est c.
Une primitive de la fonction f(x)=eax+bf\left(x\right)=e^{ax+b} est F(x)=1aeax+bF\left(x\right)=\frac{1}{a} e^{ax+b}
Calculons I=∫022e5x+1dxI=\int _{0}^{2}2e^{5x+1} dx .
On pose f(x)=2e5x+1f\left(x\right)=2e^{5x+1} donc F(x)=2×15e5x+1=25e5x+1F\left(x\right)=2\times \frac{1}{5} e^{5x+1} =\frac{2}{5} e^{5x+1}
Or
F(2)=25e5×2+1=25e11F\left(2\right)=\frac{2}{5} e^{5\times 2+1} =\frac{2}{5} e^{11}
F(0)=25e5×0+1=25e1F\left(0\right)=\frac{2}{5} e^{5\times 0+1} =\frac{2}{5} e^{1}
F(2)−F(0)=25e11−25e1F\left(2\right)-F\left(0\right)=\frac{2}{5} e^{11} -\frac{2}{5} e^{1}
F(2)−F(0)=25(e11−e1)F\left(2\right)-F\left(0\right)=\frac{2}{5} \left(e^{11} -e^{1} \right)
Ainsi :
I=∫022e5x+1dx=25(e11−e1)I=\int _{0}^{2}2e^{5x+1} dx =\frac{2}{5} \left(e^{11} -e^{1} \right)
Question 6

L'inéquation 2−2e−x>02-2e^{-x} >0 a pour ensemble solution :
  • S=[0;+∞[S=\left[0;+\infty \right[
  • S=]0;+∞[S=\left]0;+\infty \right[
  • S=]−∞,0[S=\left]-\infty ,0\right[

Correction
La bonne réponse est b.
2−2e−x>02-2e^{-x} >0 équivaut successivement à
−2e−x>−2-2e^{-x} >-2
e−x<−2−2e^{-x} <\frac{-2}{-2}
On divise par −2-2 donc on change le sens de l'inéquation.
e−x<1e^{-x} <1
ln⁡(e−x)<ln⁡(1)\ln \left(e^{-x} \right)<\ln \left(1\right)
−x<0-x<0
x>0x>0

Ainsi : S=]0;+∞[S=\left]0;+\infty \right[
Question 7

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x2−32e−2x+1f\left(x\right)=3x^{2} -\frac{3}{2} e^{-2x+1} alors :
  • ff est convexe sur R\mathbb{R}
  • ff est concave sur R\mathbb{R}
  • ff est concave sur ]−∞;12]\left]-\infty ;\frac{1}{2} \right] et est convexe sur [12;+∞[\left[\frac{1}{2} ;+\infty \right[

Correction
La bonne réponse est c.
On va calculer la dérivée de ff que l'on notera f′f'.
Ensuite on calculera la dérivée de f′f' que l'on notera f′′f''.
On étudiera ensuite le signe de f′′f''.
On a f(x)=3x2−32e−2x+1f\left(x\right)=3x^{2} -\frac{3}{2} e^{-2x+1}
Ainsi
f′(x)=6x−32×(−2)e−2x+1f'\left(x\right)=6x-\frac{3}{2} \times \left(-2\right)e^{-2x+1}
f′(x)=6x+3e−2x+1f'\left(x\right)=6x+3e^{-2x+1}

On va maintenant calculer la dérivée de de f′f' que l'on notera f′′f''.
f′′(x)=6+3×(−2)e−2x+1f''\left(x\right)=6+3\times \left(-2\right)e^{-2x+1}
f′′(x)=6−6e−2x+1f''\left(x\right)=6-6e^{-2x+1}

On va maintenant étudier le signe de f′′f''.
On va résoudre l'inéquation 6−6e−2x+1≥06-6e^{-2x+1} \ge 0 cela signifie que l'on cherche où nous allons mettre le signe ++ dans le tableau de signe de f′′f''.
6−6e−2x+1≥06-6e^{-2x+1} \ge 0 équivaut successivement à
−6e−2x+1≥−6-6e^{-2x+1} \ge -6
e−2x+1≤−6−6e^{-2x+1} \le \frac{-6}{-6} . On divise par −6-6 donc on change le sens de l'inéquation.
e−2x+1≤1e^{-2x+1} \le 1
ln⁡(e−2x+1)≤ln⁡(1)\ln \left(e^{-2x+1} \right)\le \ln \left(1\right)
−2x+1≤0-2x+1\le 0
−2x≤−1-2x\le -1
x≥−1−2x\ge \frac{-1}{-2}
x≥12.x\ge \frac{1}{2} .
Donc f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 lorsque x≥12x\ge \frac{1}{2} .
On en déduit le tableau suivant :
Question 8

Pour tout réel xx, la simplification de A=e2x+1ex2+1A=\frac{e^{2x+1} }{e^{x^{2} +1} } s'écrit :
  • A=2x+1x2+1A=\frac{2x+1}{x^{2} +1}
  • A=exe2−xA=e^{x} e^{2-x}
  • A=ex(2−x)A=e^{x\left(2-x\right)}

Correction
La bonne réponse est c.
A=e2x+1−(x2+1)A=e^{2x+1-\left(x^{2} +1\right)} équivaut successivement à
A=e2x+1−x2−1A=e^{2x+1-x^{2} -1}
A=e2x−x2A=e^{2x-x^{2} }
A=ex(2−x)A=e^{x\left(2-x\right)}
Question 9

La solution de l'équation e2x+1e3x+2=1e2x+4e^{2x+1} e^{3x+2} =\frac{1}{e^{2x+4} } est :
  • −1-1
  • 11
  • Il n'y a pas de solution

Correction
La bonne réponse est a.
e2x+1e3x+2=1e2x+4e^{2x+1} e^{3x+2} =\frac{1}{e^{2x+4} } équivaut successivement à
e2x+1e3x+2=e−(2x+4)e^{2x+1} e^{3x+2} =e^{-\left(2x+4\right)}
e2x+1e3x+2=e−2x−4e^{2x+1} e^{3x+2} =e^{-2x-4}
e2x+1+3x+2=e−2x−4e^{2x+1+3x+2} =e^{-2x-4}
e5x+3=e−2x−4e^{5x+3} =e^{-2x-4}
5x+3=−2x−45x+3=-2x-4
5x+2x=−4−35x+2x=-4-3
7x=−77x=-7
x=−77x=\frac{-7}{7}
x=−1x=-1
Question 10

Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(ax+b)e2xf\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{2x} où aa et bb sont deux réels.
La courbe représentative de la fonction ff passe par le point A(0;−4)A\left(0;-4\right) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation y=−6x+2y=-6x+2.
La fonction ff s'écrit :
  • f(x)=(2x−4)e2xf\left(x\right)=\left(2x-4\right)e^{2x}
  • f(x)=(4x−2)e2xf\left(x\right)=\left(4x-2\right)e^{2x}
  • f(x)=(2x−2)e4xf\left(x\right)=\left(2x-2\right)e^{4x}

Correction
La bonne réponse est a.
D'après l'énoncé, on en déduit deux informations :
  • f(0)=−4f\left(0\right)=-4
  • Le nombre f′(0)f'\left(0\right) désigne le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d'abscisse 00. Dans cet exercice la tangente au point d'abscisse 0 est parallèle à la droite d'équation y=−6x+2y=-6x+2 donc f′(0)=−6f'\left(0\right)=-6.

f(0)=−4f\left(0\right)=-4 équivaut successivement à
(a×0+b)e2×0=−4\left(a\times 0+b\right)e^{2\times 0} =-4
b=−4b=-4

Ensuite, calculons la dérivée de ff.
ff est dérivable sur RR, on reconnait la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=ax+bu\left(x\right)=ax+b et v(x)=e2xv\left(x\right)=e^{2x} . Ainsi u′(x)=au'\left(x\right)=a et v′(x)=2e2xv'\left(x\right)=2e^{2x} .
D'où
f′(x)=ae2x+(ax+b)×2e2xf'\left(x\right)=ae^{2x} +\left(ax+b\right)\times 2e^{2x}
f′(x)=e2x(a+(ax+b)×2)f'\left(x\right)=e^{2x} \left(a+\left(ax+b\right)\times 2\right)
f′(x)=e2x(a+2ax+2b)f'\left(x\right)=e^{2x} \left(a+2ax+2b\right)
Or f′(0)=−6f'\left(0\right)=-6 , il s'ensuit que
e2×0(a+2a×0+2b)=−6e^{2\times 0} \left(a+2a\times 0+2b\right)=-6
a+2b=−6a+2b=-6 ( Rappel b=−4b=-4 )
a+2×−4=−6a+2\times -4=-6
a=2a=2

Finalement f(x)=(2x−4)e2xf\left(x\right)=\left(2x-4\right)e^{2x}