La fonction exponentielle

Exercice 3

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question posée, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
1

Le réel A=3eln(2)×eln(6)2eln(12)A=\frac{3e^{\ln \left(2\right)} \times e^{-\ln \left(6\right)} }{2e^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)} } est égale à :
  • 36-36
  • 11
  • ln(6)\ln \left(6\right)

Correction
2

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e3xx33f\left(x\right)=-e^{3x} -\frac{x^{3} }{3} .
La tangente à la courbe représentative de ff au point d'abscisse 00 est :
  • y=3x1y=-3x-1
  • y=3x+1y=-3x+1
  • y=3x1y=3x-1

Correction
3

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ex+1ex+1f\left(x\right)=\frac{e^{-x} +1}{e^{x} +1} .
La dérivée de ff notée ff' est :
  • f(x)=exexf'\left(x\right)=\frac{-e^{-x} }{e^{x} }
  • f(x)=exex(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{e^{-x} -e^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }
  • f(x)=2exex(ex+1)2f'\left(x\right)=\frac{-2-e^{-x} -e^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }

Correction
4

L'équation (x21)e3x+1=0\left(x^{2} -1\right)e^{-3x+1} =0 admet :
  • Aucune solution réelle
  • 11 solution réelle
  • 22 solutions réelles

Correction
5

L'intégrale I=022e5x+1dxI=\int _{0}^{2}2e^{5x+1} dx est égale à :
  • I=2(e11e1)I=2\left(e^{11} -e^{1} \right)
  • I=25(e11e1)I=\frac{2}{5} \left(e^{11} -e^{1} \right)
  • I=25(e1e11)I=\frac{2}{5} \left(e^{1} -e^{11} \right)

Correction
6

L'inéquation 22ex>02-2e^{-x} >0 a pour ensemble solution :
  • S=[0;+[S=\left[0;+\infty \right[
  • S=]0;+[S=\left]0;+\infty \right[
  • S=],0[S=\left]-\infty ,0\right[

Correction
7

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x232e2x+1f\left(x\right)=3x^{2} -\frac{3}{2} e^{-2x+1} alors :
  • ff est convexe sur R\mathbb{R}
  • ff est concave sur R\mathbb{R}
  • ff est concave sur ];12]\left]-\infty ;\frac{1}{2} \right] et est convexe sur [12;+[\left[\frac{1}{2} ;+\infty \right[

Correction
8

Pour tout réel xx, la simplification de A=e2x+1ex2+1A=\frac{e^{2x+1} }{e^{x^{2} +1} } s'écrit :
  • A=2x+1x2+1A=\frac{2x+1}{x^{2} +1}
  • A=exe2xA=e^{x} e^{2-x}
  • A=ex(2x)A=e^{x\left(2-x\right)}

Correction
9

La solution de l'équation e2x+1e3x+2=1e2x+4e^{2x+1} e^{3x+2} =\frac{1}{e^{2x+4} } est :
  • 1-1
  • 11
  • Il n'y a pas de solution

Correction
10

Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(ax+b)e2xf\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{2x} aa et bb sont deux réels.
La courbe représentative de la fonction ff passe par le point A(0;4)A\left(0;-4\right) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation y=6x+2y=-6x+2.
La fonction ff s'écrit :
  • f(x)=(2x4)e2xf\left(x\right)=\left(2x-4\right)e^{2x}
  • f(x)=(4x2)e2xf\left(x\right)=\left(4x-2\right)e^{2x}
  • f(x)=(2x2)e4xf\left(x\right)=\left(2x-2\right)e^{4x}

Correction
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