La fonction exponentielle

Exercice 2

Exercice 1

Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 1010 ans l'effet de la pollution sur une population d'insectes car ils craignaient l'extinction de cette espèce.
L'étude a été effectuée sur un échantillon de 2500025000 insectes.
Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
Partie A
Une étude a permis de montrer que la population d'insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années.
La population peut être modélisée par la fonction ff définie sur l'intervalle [0;4]\left[0;4\right] par :
f(t)=25e0,5tf(t)=25e^{-0,5t} , où tt est le temps exprimé en années et f(t)f(t) le nombre de milliers d'insectes.
1

Calculer le pourcentage de diminution du nombre d'insectes la première année.
Arrondir à 1%1\%.

Correction
2

Montrer que la fonction FF définie sur l'intervalle [0;4]\left[0;4\right] par F(t)=50e0,5tF(t)=-50e^{-0,5t} est une primitive de la fonction ff sur l'intervalle [0;4]\left[0;4\right].

Correction
3

Calculer la valeur exacte de 2425e0,5tdt\int _{2}^{4}25e^{-0,5t} dt .

Correction
4

En déduire la population moyenne d'insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année.

Correction
Partie B
Après de longues recherches, un biologiste a mis au point un traitement pour essayer de sauver cette espèce.
Ce traitement est administré aux insectes à partir de la quatrième année.
L'évolution de la population est alors modélisée par la fonction gg définie sur l'intervalle [4;10]\left[4;10\right] par : g(t)=20e0,1t2+t4,65g(t)=20e^{-0,1t^{2} } +t-4,65
5

On désigne par gg' la fonction dérivée de la fonction gg.
Montrer que pour tout réel tt de l'intervalle [4;10]\left[4;10\right], g(t)=4te0,1t2+1g'(t)=-4te^{-0,1t^{2} } +1.

Correction
6

On admet que la fonction gg' est continue et strictement croissante sur l'intervalle [4;10]\left[4;10\right].
Montrer que l'équation g(t)=0g'(t)=0 a une solution et une seule α\alpha dans l'intervalle [4;10]\left[4;10\right].
Donner la valeur arrondie au dixième de α\alpha .

Correction
7

En déduire le signe de g(t)g'(t) sur l'intervalle [4;10]\left[4;10\right].

Correction
8

Donner le sens de variation de la fonction gg sur l'intervalle [4;10]\left[4;10\right].

Correction
9

Que peut-on supposer quant à l'effet du traitement sur la population d'insectes ?

Correction
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