La fonction exponentielle

Exercice 1

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
1

On considère la fonction ff définie par f(x)=(2x+3)e4x+1f\left(x\right)=\left(2x+3\right)e^{-4x+1} .
La fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} et sa dérivée ff' est donnée par :
  • f(x)=8e4x+1f'\left(x\right)=-8e^{-4x+1}
  • f(x)=2e4x+1f'\left(x\right)=2e^{-4x+1}
  • f(x)=(8x10)e4x+1f'\left(x\right)=\left(-8x-10\right)e^{-4x+1}
  • f(x)=(8x+10)e4x+1f'\left(x\right)=\left(-8x+10\right)e^{-4x+1}

Correction
2

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=xe2xf\left(x\right)=xe^{-2x} .
  • La fonction ff est convexe sur R\mathbb{R}.
  • La fonction ff est concave sur R\mathbb{R}.
  • La fonction ff est concave sur [1;+[\left[1;+\infty \right[ .
  • La fonction ff est convexe sur [1;+[\left[1;+\infty \right[.

Correction
3

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x+1exf\left(x\right)=\frac{x+1}{e^{x} } .
L'équation de la tangente au point d'abscisse 00 est :
  • y=2x+1y=2x+1
  • y=x+2y=x+2
  • y=2xy=2x
  • y=1y=1

Correction
4

La fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(x)=(x+1)e3x2F\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{-3x^{2} } est une primitive de la fonction ff définie par :
  • f(x)=e3x2f\left(x\right)=e^{-3x^{2} }
  • f(x)=3xe3x2f\left(x\right)=-3xe^{-3x^{2} }
  • f(x)=(6x26x+1)e3x2f\left(x\right)=\left(-6x^{2} -6x+1\right)e^{-3x^{2} }
  • f(x)=(3x3)e3x2f\left(x\right)=\left(-3x-3\right)e^{-3x^{2} }

Correction
5

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(3x+6)exf\left(x\right)=\left(-3x+6\right)e^{-x} .
L'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet :
  • Une solution positive.
  • Une solution négative.
  • Deux solutions sur R\mathbb{R}.
  • Aucune solution.

Correction
6

L'unique solution de l'équation e2x3=0e^{2x} -3=0 est :
  • x=0,5493061443x=0,5493061443
  • x=e32x=\frac{e^{3} }{2}
  • x=ln(3)2x=\frac{\ln \left(3\right)}{2}
  • x=ln(2)3x=\frac{\ln \left(2\right)}{3}

Correction
7

On pose H=126e2x2dxH=\int _{1}^{2}6e^{2x-2} dx.
La valeur exacte de HH est :
  • H=6e26H=6e^{2} -6
  • H=66e2H=6-6e^{2}
  • H=33e2H=3-3e^{2}
  • H=3e23H=3e^{2} -3

Correction
8

La valeur exacte de P=e2×(e3)2eP=\frac{e^{2} \times \left(e^{3} \right)^{2} }{e} est :
  • P=1096,633158P=1096,633158
  • P=e7P=e^{7}
  • P=e6P=e^{6}
  • P=e5P=e^{-5}

Correction
9

On considère la fonction ff définie sur RR par f(x)=3xexf\left(x\right)=3xe^{-x} .
L'image de f(ln5)f\left(\ln 5\right) par ff est égale à :
  • 5ln(5)5\ln \left(5\right)
  • 35ln(5)\frac{3}{5} \ln \left(5\right)
  • 15ln(5)15\ln \left(5\right)
  • 53ln(5)\frac{5}{3} \ln \left(5\right)

Correction
10

On admet qu'une équation de la tangente à la courbe CC au point d'abscisse 2 est : y=xeln(3)+1ln(2).y=-\frac{x}{e^{-\ln \left(3\right)} } +\frac{1}{\ln \left(2\right)} .
Le nombre dérivé de ff en 22 est :
  • 33
  • 13\frac{1}{3}
  • 13-\frac{1}{3}
  • 3-3

Correction
11

Pour tout réel xx différent de ln(2)-\ln \left(2\right) , A=32ex1ex2A=3-\frac{2e^{-x} -1}{e^{-x} -2} est égale à :
  • 15ex1+2ex\frac{1-5e^{x} }{1+2e^{x} }
  • 1+5ex12ex\frac{1+5e^{x} }{1-2e^{x} }
  • 15ex12ex\frac{1-5e^{x} }{1-2e^{x} }
  • 15ex1+2ex\frac{1-5e^{x} }{-1+2e^{x} }

Correction
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