La fonction exponentielle

Dérivées avec la fonction exe^{x} - Exercice 1

30 min
40
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes. On suppose que les fonctions sont dérivables sur un intervalle II que l'on ne cherchera pas à déterminer.
Question 1

f(x)=2ex+5x−1f\left(x\right)=2e^{x} +5x-1

Correction
f′(x)=2ex+5f'\left(x\right)=2e^{x} +5
Question 2

f(x)=xexf\left(x\right)=xe^{x}

Correction
Ici on reconnait la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=ex+xexf'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} +x{\color{blue}{e^{x}}}
f′(x)=ex(1+x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(1+x\right)
Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
Question 3

f(x)=(2x−3)exf\left(x\right)=\left(2x-3\right)e^{x}

Correction
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2x−3u\left(x\right)=2x-3 et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
Ainsi : u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=2ex+(2x−3)exf'\left(x\right)=2{\color{blue}{e^{x}}} +\left(2x-3\right){\color{blue}{e^{x}}} équivaut successivement à :
f′(x)=ex(2+2−3x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(2+2-3x\right)
f′(x)=ex(4−3x)f'\left(x\right)=e^{x} \left(4-3x\right)
Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
Question 4

f(x)=(−4x+2)exf\left(x\right)=\left(-4x+2\right)e^{x}

Correction
Ici on reconnait la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=−4x+2u\left(x\right)=-4x+2 et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
Ainsi : u′(x)=−4u'\left(x\right)=-4 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=−4ex+(−4x+2)exf'\left(x\right)=-4{\color{blue}{e^{x}}} +\left(-4x+2\right){\color{blue}{e^{x}}}
f′(x)=ex(−4−4x+2)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(-4-4x+2\right)
f′(x)=ex(−2−4x)f'\left(x\right)=e^{x} \left(-2-4x\right)
Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
Question 5

f(x)=x2exf\left(x\right)=x^{2} e^{x}

Correction
Ici on reconnait la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=x2u\left(x\right)=x^{2} et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
Ainsi : u′(x)=2xu'\left(x\right)=2x et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=2xex+x2exf'\left(x\right)=2x{\color{blue}{e^{x}}} +x^{2} {\color{blue}{e^{x}}}
f′(x)=ex(2x+x2)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}}\left(2x+x^{2} \right)
Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
Question 6

f(x)=exxf\left(x\right)=\frac{e^{x} }{x}

Correction
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=exu\left(x\right)=e^{x} et v(x)=xv\left(x\right)=x.
Ainsi : u′(x)=exu'\left(x\right)=e^{x} et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
Il vient alors que : f′(x)=xex−exx2⇔f'\left(x\right)=\frac{x{\color{blue}{e^{x}}} -{\color{blue}{e^{x}}} }{x^{2} } \Leftrightarrow
f′(x)=ex(x−1)x2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{e^{x}}} \left(x-1\right)}{x^{2} }
Question 7

f(x)=2+exex+xf\left(x\right)=\frac{2+e^{x} }{e^{x} +x}

Correction
Ici on reconnait la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=2+exu\left(x\right)=2+e^{x} et v(x)=ex+xv\left(x\right)=e^{x} +x.
Ainsi : u′(x)=exu'\left(x\right)=e^{x} et v′(x)=ex+1v'\left(x\right)=e^{x} +1.
Il vient alors que :
f′(x)=ex(ex+x)−(ex+2)(ex+1)(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(e^{x} +x\right)-\left(e^{x} +2\right)\left(e^{x} +1\right)}{\left(e^{x} +x\right)^{2} } équivaut successivement à :
f′(x)=e2x+xex−(e2x+ex+2ex+2)(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +xe^{x} -\left(e^{2x} +e^{x} +2e^{x} +2\right)}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
f′(x)=e2x+xex−e2x−ex−2ex−2(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +xe^{x} -e^{2x} -e^{x} -2e^{x} -2}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
f′(x)=xex−3ex−2(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{xe^{x} -3e^{x} -2}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
Question 8

f(x)=ex2ex−5f\left(x\right)=\frac{e^{x} }{2e^{x} -5}

Correction
Ici on reconnait la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=exu\left(x\right)=e^{x} et v(x)=2ex−5v\left(x\right)=2e^{x} -5.
Ainsi u′(x)=exu'\left(x\right)=e^{x} et v′(x)=2exv'\left(x\right)=2e^{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=ex(2ex−5)−ex×2ex(2ex−5)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(2e^{x} -5\right)-e^{x} \times 2e^{x} }{\left(2e^{x} -5\right)^{2} } équivaut successivement à :
f′(x)=2e2x−5ex−2e2x(2ex−5)2f'\left(x\right)=\frac{2e^{2x} -5e^{x} -2e^{2x} }{\left(2e^{x} -5\right)^{2} }
f′(x)=−5ex(2ex−5)2f'\left(x\right)=\frac{-5e^{x} }{\left(2e^{x} -5\right)^{2} }
Question 9

f(x)=ex−7ex+2f\left(x\right)=\frac{e^{x} -7}{e^{x} +2}

Correction
  • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b} c'est à dire ex×ex=e2xe^{x} \times e^{x} =e^{2x}
Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=ex−7u\left(x\right)=e^{x}-7 et v(x)=ex+2v\left(x\right)=e^{x}+2.
Ainsi u′(x)=exu'\left(x\right)=e^{x} et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il vient alors que :
f′(x)=ex×(ex+2)−(ex−7)×ex(ex+2)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \times \left(e^{x} +2\right)-\left(e^{x} -7\right)\times e^{x} }{\left(e^{x} +2\right)^{2} }
f′(x)=ex×ex+2×ex−(ex×ex−7×ex)(ex+2)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \times e^{x} +2\times e^{x} -\left(e^{x} \times e^{x} -7\times e^{x} \right)}{\left(e^{x} +2\right)^{2} }
f′(x)=e2x+2ex−(e2x−7ex)(ex+2)2f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2e^{x} -\left(e^{2x} -7e^{x} \right)}{\left(e^{x} +2\right)^{2} }
f′(x)=e2x+2ex−e2x+7ex(ex+2)2f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +2e^{x} -e^{2x} +7e^{x} }{\left(e^{x} +2\right)^{2} }
f′(x)=9ex(ex+2)2f'\left(x\right)=\frac{9e^{x} }{\left(e^{x} +2\right)^{2} }

Question 10

f(x)=xex−xf\left(x\right)=\frac{x}{e^{x} -x} .

Correction
Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=ex−xv\left(x\right)=e^{x}-x.
Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=ex−1v'\left(x\right)=e^{x}-1 .
Il vient alors que :
f′(x)=1×(ex−x)−x×(ex−1)(ex−x)2f'\left(x\right)=\frac{1\times \left(e^{x} -x\right)-x\times \left(e^{x} -1\right)}{\left(e^{x} -x\right)^{2} }
f′(x)=ex−x−x×ex−x×(−1)(ex−x)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} -x-x\times e^{x} -x\times \left(-1\right)}{\left(e^{x} -x\right)^{2} }
f′(x)=ex−x−xex+x(ex−x)2f'\left(x\right)=\frac{e^{x} -x-xe^{x} +x}{\left(e^{x} -x\right)^{2} }
f′(x)=ex−xex(ex−x)2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{e^{x}}} -x{\color{blue}{e^{x}}} }{\left(e^{x} -x\right)^{2} }
f′(x)=ex(1−x)(ex−x)2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{e^{x}}} \left(1-x\right)}{\left(e^{x} -x\right)^{2} }