Echantillonnage et estimation

Intervalle de fluctuation - Exercice 1

10 min
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Une société de jeux propose des machines à sous où la fréquence de gain est de 0,070,07.
Après une soirée, le technicien responsable des machines à sous constate qu'il y a eu 1010 succès sur 9292 parties sur une machine particulière.
Question 1

Déterminer la fréquence observée fobsf_{obs} de la machine à sous en question.

Correction
fobs=1092≈0,1087f_{obs} =\frac{10}{92} \approx 0,1087
Question 2

Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% .
Le technicien va-t-il modifier le réglage de la machine ?

Correction
Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30n\ge 30 , np≥5np\ge 5 et n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5. Ici p=0,07p=0,07 et n=92n=92
  • 92≥3092\ge 30 donc n≥30n\ge 30
  • 92×0,07=6,4492\times 0,07=6,44 donc np≥5np\ge 5
  • 92×(1−0,07)=85,5692\times \left(1-0,07\right)=85,56 donc n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% .
On a alors :
I=[p−1,96×p×(1−p)n;p+1,96×p×(1−p)n]I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]
I=[0,07−1,96×0,07×(1−0,07)92;0,07+1,96×0,07×(1−0,07)92]I=\left[0,07-1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{92} } ;0,07+1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{92} } \right]
I=[0,017;0,123]I=\left[0,017;0,123\right]
Ici 0,0170,017 est une valeur approchée par défaut de 0,07−1,96×0,07×(1−0,07)920,07-1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{92} }
Ici 0,1230,123 est une valeur approchée par excès de 0,07+1,96×0,07×(1−0,07)920,07+1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{92} }
Or fobs∈[0,017;0,123]f_{obs} \in \left[0,017;0,123\right], donc la machine à sous fonctionne correctement.
Question 3

Quelle aurait été sa décision s'il y avait eu 2525 succès sur 200200 jeux ?

Correction
Tout d'abord fobs=25200=0,125f_{obs} =\frac{25}{200} =0,125
Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30n\ge 30 , np≥5np\ge 5 et n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5. Ici p=0,07p=0,07 et n=200n=200
  • 200≥30200\ge 30 donc n≥30n\ge 30
  • 200×0,07=14200\times 0,07=14 donc np≥5np\ge 5
  • 200×(1−0,07)=186200\times \left(1-0,07\right)=186 donc n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% .
On a alors :
I=[p−1,96×p×(1−p)n;p+1,96×p×(1−p)n]I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]
I=[0,07−1,96×0,07×(1−0,07)200;0,07+1,96×0,07×(1−0,07)200]I=\left[0,07-1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{200} } ;0,07+1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{200} } \right]
I=[0,034;0,106]I=\left[0,034;0,106\right]
Ici 0,0340,034 est une valeur approchée par défaut de 0,07−1,96×0,07×(1−0,07)2000,07-1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{200} }
Ici 0,1060,106 est une valeur approchée par excès de 0,07+1,96×0,07×(1−0,07)2000,07+1,96\times \frac{\sqrt{0,07\times \left(1-0,07\right)} }{\sqrt{200} }
Or fobs∉[0,034;0,106]f_{obs} \notin \left[0,034;0,106\right], donc La fréquence fobsf_{obs} du nombre de succès observée n'est pas dans l'intervalle car elle est trop grande, donc le technicien va modifier le réglage de la machine.