Echantillonnage et estimation

Intervalle de confiance - Exercice 1

6 min
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Pour savoir si une pièce est équilibrée, on la lance 300300 fois. On a obtenu 175175 fois "face".
Question 1

La pièce est-elle effectivement équilibrée ?
On utilisera un intervalle de confiance à 95%95\% .

Correction

Soit une expérience aléatoire où la probabilité d'un XXévénement est pp. On reproduit cette expérience nn fois et l'on détermine la fréquence observéefobsf_{obs} d'apparition de l'événement XX.
Si p∈[0,2;0,8]p\in \left[0,2;0,8\right] et si n>25n>25 , alors, dans environ 95%95\% des cas, pp est compris dans l'intervalle II appelé intervalle de confiance au seuil de 95%95\% ou au risque de 5%5\%
si n≥30n\ge 30 , n×fobs≥5n\times f_{obs} \ge 5 et n×(1−fobs)≥5n\times \left(1-f_{obs} \right)\ge 5alors I=[fobs−1n;fobs+1n]I=\left[f_{obs} -\frac{1}{\sqrt{n} } ;f_{obs} +\frac{1}{\sqrt{n} } \right]
On sait que l'on a une chance sur deux d'avoir face , ainsi p=12p=\frac{1}{2} et que n=300n=300.
Dans l'exercice , nous avons fobs=175300f_{obs} =\frac{175}{300} donc fobs=712≈0,58f_{obs} =\frac{7}{12} \approx 0,58.
  • Or n=300≥30n=300\ge 30
  • 300×712=175300\times \frac{7}{12} =175 donc n×fobs≥5n\times f_{obs} \ge 5
  • 300×(1−712)=125300\times \left(1-\frac{7}{12} \right)=125 donc n×(1−fobs)≥5n\times \left(1-f_{obs} \right)\ge 5

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de confiance. Il vient alors
I=[712−1300;712+1300]I=\left[\frac{7}{12} -\frac{1}{\sqrt{300} } ;\frac{7}{12} +\frac{1}{\sqrt{300} } \right] donc I=[0,52;0,65]I=\left[0,52;0,65\right]
Ici 0,520,52 est une valeur approchée par défaut de 712−1300\frac{7}{12} -\frac{1}{\sqrt{300} }
Ici 0,650,65 est une valeur approchée par excès de 712+1300\frac{7}{12} +\frac{1}{\sqrt{300} }
Or p∉[0,52;0,65]p\notin \left[0,52;0,65\right] c'est à dire 0,5∉[0,52;0,65]0,5\notin \left[0,52;0,65\right]
Il y a de forte chance que la pièce ne soit pas équilibrée.