Echantillonnage et estimation

Exercices types : 1èrepartie

Exercice 1

L’entreprise COFRUIT fabrique de la confiture de fruits, qu’elle conditionne en pots. Il est indiqué 680680 grammes de confiture sur l’étiquette du pot. En fin de chaîne de remplissage, les pots sont pesés et ceux dont la masse de confiture est strictement inférieure à 675675 grammes ne sont pas commercialisés.
Partie A
Après remplissage, la masse de confiture dans un pot est modélisée par une variable aléatoire XX qui suit la loi normale d’espérance μ=680\mu=680 et d’écart-type σ=2,65\sigma=2,65.
1

Calculer la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677677 grammes et 683683 grammes.

Correction
2

Calculer la probabilité qu’un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé.

Correction
Partie B
Dans cette partie, on considère qu’une machine de remplissage de pots est bien réglée lorsque la proportion théorique dépôts non commercialisables est inférieure ou égale à 33%. On s’intéresse à la production journalière dépôts remplis par cette machine.
3

Lors d’un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de 200200 pots, 88 ne sont pas commercialisables. À l’aide d’un intervalle de fluctuation asymptotique à 95%, déterminer si la machine nécessite un réglage.

Correction
On rappelle dans cette question que μ=680\mu=680 et σ=2,65\sigma=2,65. On suppose que la machine est bien réglée. L’entreprise décide de vendre les pots de confiture par lots de 22. Les lots de moins de 13501350 grammes de confiture sont jugés non conformes. On admet que la masse de confiture, en grammes, d’un lot de 22 pots est une variable aléatoire YY qui suit la loi normale d’espérance 2μ2\mu et d’écart-type 2σ\sqrt{2} \sigma.
4

Calculer P(Y1350)P\left(Y\le 1350\right).

Correction
5

Pourquoi est-il alors plus intéressant pour l’entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 22?

Correction

Exercice 2

Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92%92\% des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à 10210^{-2} près.
1

On prélève au hasard un échantillon de 100100 sachets. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95%95\% de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100100.

Correction
2

Dans le prélèvement de 100100 sachets, 8888 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l’hypothèse du directeur?

Correction
On considère la variable aléatoire XX qui, à tout prélèvement de 100100 sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire XX suit la loi binomiale de paramètres n=100n=100 et p=0,92p =0,92.
3

Déterminer l’espérance et l’écart type de XX (arrondi à 0,010,01 près).

Correction
On définit la variable aléatoire YY qui suit la loi normale de paramètres μ=92\mu=92 et d'écart type σ=2,7\sigma =2,7.
4

En utilisant la variable aléatoire YY, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 8989 et 9494.

Correction

Exercice 3

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l’épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à 10310^{-3} près.
PARTIE A :
On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,90,9. Soit XX la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 1010 pièces associe le nombre de pièces conformes.
1

Justifier que la variable aléatoire XX suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

Correction
2

Calculer l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) de la variable aléatoire XX.

Correction
3

Calculer la probabilité que dans un échantillon de 1010 pièces, au moins 88 pièces soient conformes.

Correction
PARTIE B :
Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit MM la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre. On suppose que MM suit la loi normale d’espérance 8080 et d’écart type 0,60,6.
4

Déterminer la probabilité P(79M81)P\left(79\le M\le 81\right).

Correction
5

Quelle est la probabilité que le diamètre d’une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 8080?

Correction
PARTIE C :
On s’intéresse dans cette partie à l’épaisseur des médailles. On fait l’hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5%5\% des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.
6

Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95%95\% de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de 300300 médailles.

Correction
7

On prélève un échantillon de 300300 médailles. On constate que dans cet échantillon, 2424 médailles ont une épaisseur non conforme. Doit-on réviser le réglage de la machine?

Correction

Exercice 4

1

Le directeur du personnel affirme que 85%85\% des salariés sont satisfaits au sein de l’entreprise. Afin de vérifier cette déclaration, on interroge au hasard 120120 employés. Parmi eux, 9494 répondent qu’ils sont satisfaits. Que peut-on penser de l’affirmation du directeur du personnel?

Correction

Exercice 5

1

Une étude précise que 4848 %\% des Français ne sont pas satisfaits par la politique du président actuel. Un sondage effectuée en Mayenne (53)\left(53\right) révèle que parmi 27002700 personnes, 12901290 ne sont pas satisfaits. Ce sondage est-il représentatif des Français?

Correction
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