Exercices types : 1^èrepartie

Nous devons calculer $P\left(677\le X\le 683\right)$
Avec une calculatrice Texas, pour $P\left(677\le X\le 683\right)$ ; on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep(677, 683, 680, 2.65) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $P\left(677\le X\le 683\right)$ on tape :

Puis on tape sur EXE et on obtient :

La probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre $677$ grammes et $683$ grammes est de $0,742$.

Un pot est non commercialisé si la masse de confiture est inférieure à $67$5 grammes donc la probabilité qu’un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé est : $P\left( X\ge 675\right)$
Avec une calculatrice Texas, pour $P\left( X\ge 675\right)$ ; on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep(675, 10^99, 680, 2.65) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $P\left( X\ge 675\right)$ on tape :

Puis on tape sur EXE et on obtient :

Calculer la probabilité qu’un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé est de $0,97$.

Lors d’un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de $200$ pots, $8$ ne sont pas commercialisables.
Il faut vérifier les conditions suivantes $n\ge 30$ , $np\ge 5$ et $n\left(1-p\right)\ge 5$. Ici, $n=200$ et $p=0,03$

• $200\ge 30$ donc $n\ge 30$
• $200\times 0,03=6$ donc $np\ge 5$
• $200\times \left(1-0,03\right)=194$ donc $n\left(1-p\right)\ge 5$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
On a alors :
$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$
$I=\left[0,03-1,96\times \frac{\sqrt{0,03\times \left(1-0,03\right)} }{\sqrt{200} } ;0,03+1,96\times \frac{\sqrt{0,03\times \left(1-0,03\right)} }{\sqrt{200} } \right]$
$I=\left[0,006;0,054\right] .$
Ici $0,006$ est une valeur approchée par défaut de $0,03-1,96\times \frac{\sqrt{0,03\times \left(1-0,03\right)} }{\sqrt{200} }$
Ici $0,054$ est une valeur approchée par excès de $0,03+1,96\times \frac{\sqrt{0,03\times \left(1-0,03\right)} }{\sqrt{200} }$

La variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d’espérance $2\mu= 1360$ et d’écart-type $\sqrt{2} \sigma\approx3,748$.
Avec une calculatrice Texas, pour $P\left(Y\le 1350\right)$ ; on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep(10^-99,1350,1360, 3.748) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $P\left(Y\le 1350\right)$ on tape :

Puis on tape sur EXE et on obtient :

D’après les questions précédentes, on peut estimer qu’il y a une proportion de lots de $2$ pots non commercialisables de $0,4$% bien plus faible que la proportion de pots non commercialisables de $3$% quand on les considère individuellement. Il est donc plus intéressant pour l’entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de $2$.

Nous avons $n = 100$ et $p =0,92$.
Il faut vérifier les conditions suivantes $n\ge 30$ , $np\ge 5$ et $n\left(1-p\right)\ge 5$

• $100\ge 30$ donc $n\ge 30$
• $100\times 0,92=92$ donc $np\ge 5$
• $100\times \left(1-0,92\right)=8$ donc $n\left(1-p\right)\ge 5$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
On a alors :
$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$
$I=\left[0,92-1,96\times \frac{\sqrt{0,92\times \left(1-0,92\right)} }{\sqrt{100} } ;0,92+1,96\times \frac{\sqrt{0,92\times \left(1-0,92\right)} }{\sqrt{100} } \right]$
$I=\left[0,87;0,97\right] .$
Ici $0,87$ est une valeur approchée par défaut de $0,92-1,96\times \frac{\sqrt{0,92\times \left(1-0,92\right)} }{\sqrt{100} }$
Ici $0,97$ est une valeur approchée par excès de $0,92+1,96\times \frac{\sqrt{0,92\times \left(1-0,92\right)} }{\sqrt{100} }$

On détermine la fréquence des sachets efficaces, il vient alors que : $f_{obs} =\frac{88}{100} \approx 0,88$
Or $f_{obs} \in \left[0,87;0,97\right]$.
Nous pouvons accepter l’hypothèse du directeur car dans ce lot, la fréquence de plantes résistantes $0,88$ appartient à l’intervalle de fluctuation.

Ainsi :
$E\left(X\right)=100\times 0,92$ donc
$V\left(X\right)=100\times 0,92\times \left(1-0,92\right)$ d'où :
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{7,36}$ d'où :

Il nous faut donc calculer : $P\left(89\le Y\le 94\right)$
Avec une calculatrice Texas, pour $P\left(89\le Y\le 94\right)$ on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep($89$; $94$; $92$; $2,7$) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $P\left(89\le Y\le 94\right)$ on tape :

Puis on tape sur EXE et on obtient :

Ainsi :
$E\left(X\right)=10\times 0,9$ donc
$V\left(X\right)=10\times 0,9\times \left(1-0,9\right)$ d'où :
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{0,9}$ d'où :

Il nous faut calculer $P\left(X\ge 8\right)$.
Or $P\left(X\ge 8\right)=1-P\left(X\le 7\right)$
Nous allons détailler la manière de calculer la valeur $P\left(X\le 7\right)$
Avec une Texas, on tape pour $P\left(X\le 7\right)$
(tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Texas" pour plus de détails)2^nd - DISTR -- puis choisir BinomFrep(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp($10$, $0.9$ , $7$) puis taper sur enter et on obtient :
arrondi à $10^{-3}$ près.
Enfin : $P\left(X\ge 8\right)=1-P\left(X\le 7\right)\approx1-0,070\approx0,93$
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdpAvec une Casio Graph 35+ ou modèle supérieur, on tape pour $P\left(X\le 7\right)$
(tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Casio" pour plus de détails)
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.

On remplit le tableau de la manière qui suit :

puis taper sur EXE et on obtient :
arrondi à $10^{-3}$ près.
Enfin : $P\left(X\ge 8\right)=1-P\left(X\le 7\right)\approx1-0,070\approx0,93$

Nous savons que $\mu=80$ et $\sigma=0,6$.
Pour le calcul de $P\left(79\le M\le 81\right)$, on procède comme suit :
Avec une calculatrice Texas, pour $P\left(79\le M\le 81\right)$ on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep($79$, $81$, $80$, $6$) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $P\left(2\le X\le 3\right)$ on tape :

Puis on tape sur EXE et on obtient :

Comme l’espérance est égale à $80$, la probabilité que le diamètre d’une pièce prélevée au hasard soit supérieur à $80$ est égale à $0,5$

Ici nous avons $n=300$ et $p=0,05$
Il faut vérifier les conditions suivantes $n\ge 30$ , $np\ge 5$ et $n\left(1-p\right)\ge 5$

• $300\ge 30$ donc $n\ge 30$
• $300\times 0,05=15$ donc $np\ge 5$
• $300\times \left(1-0,05\right)=285$ donc $n\left(1-p\right)\ge 5$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
On a alors :
$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$
$I=\left[0,05-1,96\times \frac{\sqrt{0,05\times \left(1-0,05\right)} }{\sqrt{300} } ;0,05+1,96\times \frac{\sqrt{0,05\times \left(1-0,05\right)} }{\sqrt{300} } \right]$
$I=\left[0,025;0,075\right] .$
Ici $0,025$ est une valeur approchée par défaut de $0,05-1,96\times \frac{\sqrt{0,05\times \left(1-0,05\right)} }{\sqrt{300} }$
Ici $0,075$ est une valeur approchée par excès de $0,05+1,96\times \frac{\sqrt{0,05\times \left(1-0,05\right)} }{\sqrt{300} }$

On détermine la fréquence d’apparition des médailles non conformes dans l'échantillon, il vient alors que :
$f_{obs} =\frac{24}{300} =0,08$
Or $f_{obs} \notin \left[0,025;0,075\right]$, donc au seuil de confiance de $95\%$ on décide de revoir le réglage de la machine.

L’échantillon est de taille $n =120$, la proportion supposée de salariés satisfaits dans l'entreprise $p=0,85$.
Il faut vérifier les conditions suivantes $n\ge 30$ , $np\ge 5$ et $n\left(1-p\right)\ge 5$

• $120\ge 30$ donc $n\ge 30$
• $120\times 0,85=102$ donc $np\ge 5$
• $120\times \left(1-0,85\right)=18$ donc $n\left(1-p\right)\ge 5$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
On a alors :
$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$
$I=\left[0,85-1,96\times \frac{\sqrt{0,85\times \left(1-0,85\right)} }{\sqrt{120} } ;0,85+1,96\times \frac{\sqrt{0,85\times \left(1-0,85\right)} }{\sqrt{120} } \right]$
$I=\left[0,786;0,914\right]$.
Ici $0,786$ est une valeur approchée par défaut de $0,85-1,96\times \frac{\sqrt{0,85\times \left(1-0,85\right)} }{\sqrt{120} }$
Ici $0,914$ est une valeur approchée par excès de $0,85+1,96\times \frac{\sqrt{0,85\times \left(1-0,85\right)} }{\sqrt{120} }$
De plus, la fréquence observée de salariés satisfaits sur l’échantillon est $f_{obs}=\frac{94}{120}\approx0,783$
Or $f_{obs} \notin \left[0,783;0,0,913\right]$. On peut donc remettre en cause l’affirmation du directeur du personnel au risque de $5\%$ de se tromper.

Il faut vérifier les conditions suivantes $n\ge 30$ , $np\ge 5$ et $n\left(1-p\right)\ge 5$ avec $p=0,48$ et $n=2700$ .

• $2700\ge 30$ donc $n\ge 30$
• $2700\times 0,48=1296$ donc $np\ge 5$
• $2700\times \left(1-0,48\right)=1404$ donc $n\left(1-p\right)\ge 5$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
On a alors :
$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$
$I=\left[0,48-1,96\times \frac{\sqrt{0,48\times \left(1-0,48\right)} }{\sqrt{2700} } ;0,48+1,96\times \frac{\sqrt{0,48\times \left(1-0,48\right)} }{\sqrt{2700} } \right]$
$I=\left[0,461;0,499\right] .$
Ici $0,461$ est une valeur approchée par défaut de $0,48-1,96\times \frac{\sqrt{0,48\times \left(1-0,48\right)} }{\sqrt{2700} }$
Ici $0,499$ est une valeur approchée par excès de $0,48+1,96\times \frac{\sqrt{0,48\times \left(1-0,48\right)} }{\sqrt{2700} }$
Sur les $2700$ personnes, $1290$ ne sont pas satisfaits par la politique du président actuel.
On détermine la fréquence des personnes insatisfaites dans l'échantillon, il vient alors que :
$f_{obs} =\frac{1290}{2700} \approx0,478$
Or $f_{obs} \in \left[0,461;0,499\right]$, donc la fréquence $f_{obs}$ est dans l'intervalle. Donc, au risque de $5\%$, ce sondage est bien représentatif des Français.