Exercices types : 1^èrepartie - Exercice 1

Nous devons calculer $$P\left(677\le X\le 683\right)$$
Avec une calculatrice Texas, pour $$P\left(677\le X\le 683\right)$$ ; on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep(677, 683, 680, 2.65) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $$P\left(677\le X\le 683\right)$$ on tape :

Puis on tape sur EXE et on obtient :

La probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre $$677$$ grammes et $$683$$ grammes est de $$0,742$$.

Un pot est non commercialisé si la masse de confiture est inférieure à $$67$$5 grammes donc la probabilité qu’un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé est : $$P\left( X\ge 675\right)$$
Avec une calculatrice Texas, pour $$P\left( X\ge 675\right)$$ ; on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep(675, 10^99, 680, 2.65) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $$P\left( X\ge 675\right)$$ on tape :

Puis on tape sur EXE et on obtient :

Calculer la probabilité qu’un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé est de $$0,97$$.

Lors d’un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de $$200$$ pots, $$8$$ ne sont pas commercialisables.
Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$. Ici, $$n=200$$ et $$p=0,03$$

• $$200\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$200\times 0,03=6$$ donc $$np\ge 5$$
• $$200\times \left(1-0,03\right)=194$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,03-1,96\times \frac{\sqrt{0,03\times \left(1-0,03\right)} }{\sqrt{200} } ;0,03+1,96\times \frac{\sqrt{0,03\times \left(1-0,03\right)} }{\sqrt{200} } \right]$$
$$I=\left[0,006;0,054\right] .$$
Ici $$0,006$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,03-1,96\times \frac{\sqrt{0,03\times \left(1-0,03\right)} }{\sqrt{200} }$$
Ici $$0,054$$ est une valeur approchée par excès de $$0,03+1,96\times \frac{\sqrt{0,03\times \left(1-0,03\right)} }{\sqrt{200} }$$

La variable aléatoire $$Y$$ suit la loi normale d’espérance $$2\mu= 1360$$ et d’écart-type $$\sqrt{2} \sigma\approx3,748$$.
Avec une calculatrice Texas, pour $$P\left(Y\le 1350\right)$$ ; on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type)
C'est-à-dire ici NormalFrep(10^-99,1350,1360, 3.748) puis on tape sur Enter et on obtient :

Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour $$P\left(Y\le 1350\right)$$ on tape :

Puis on tape sur EXE et on obtient :

D’après les questions précédentes, on peut estimer qu’il y a une proportion de lots de $$2$$ pots non commercialisables de $$0,4$$% bien plus faible que la proportion de pots non commercialisables de $$3$$% quand on les considère individuellement. Il est donc plus intéressant pour l’entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de $$2$$.