Après remplissage, la masse de confiture dans un pot est modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance μ=680 et d’écart-type σ=2,65.
1
Calculer la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes.
Correction
Nous devons calculer P(677≤X≤683) Avec une calculatrice Texas, pour P(677≤X≤683) ; on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type) C'est-à-dire ici NormalFrep(677, 683, 680, 2.65) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(677≤X≤683)≈0,742
Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(677≤X≤683) on tape :
La probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes est de 0,742.
2
Calculer la probabilité qu’un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé.
Correction
Un pot est non commercialisé si la masse de confiture est inférieure à 675 grammes donc la probabilité qu’un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé est : P(X≥675) Avec une calculatrice Texas, pour P(X≥675) ; on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type) C'est-à-dire ici NormalFrep(675, 10^99, 680, 2.65) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(X≥675)≈0,970
Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(X≥675) on tape :
Calculer la probabilité qu’un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé est de 0,97.
Partie B Dans cette partie, on considère qu’une machine de remplissage de pots est bien réglée lorsque la proportion théorique dépôts non commercialisables est inférieure ou égale à 3%. On s’intéresse à la production journalière dépôts remplis par cette machine.
3
Lors d’un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de 200 pots, 8 ne sont pas commercialisables. À l’aide d’un intervalle de fluctuation asymptotique à 95%, déterminer si la machine nécessite un réglage.
Correction
Lors d’un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de 200 pots, 8 ne sont pas commercialisables. Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30 , np≥5 et n(1−p)≥5. Ici, n=200 et p=0,03
200≥30 donc n≥30
200×0,03=6 donc np≥5
200×(1−0,03)=194 donc n(1−p)≥5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On a alors : I=[p−1,96×np×(1−p);p+1,96×np×(1−p)] I=[0,03−1,96×2000,03×(1−0,03);0,03+1,96×2000,03×(1−0,03)] I=[0,006;0,054]. Ici 0,006 est une valeur approchée par défaut de 0,03−1,96×2000,03×(1−0,03) Ici 0,054 est une valeur approchée par excès de 0,03+1,96×2000,03×(1−0,03)
On rappelle dans cette question que μ=680 et σ=2,65. On suppose que la machine est bien réglée. L’entreprise décide de vendre les pots de confiture par lots de 2. Les lots de moins de 1350 grammes de confiture sont jugés non conformes. On admet que la masse de confiture, en grammes, d’un lot de 2 pots est une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d’espérance 2μ et d’écart-type 2σ.
4
Calculer P(Y≤1350).
Correction
La variable aléatoire Y suit la loi normale d’espérance 2μ=1360 et d’écart-type 2σ≈3,748. Avec une calculatrice Texas, pour P(Y≤1350) ; on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type) C'est-à-dire ici NormalFrep(10^-99,1350,1360, 3.748) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(Y≤1350)≈0,004
Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(Y≤1350) on tape :
Pourquoi est-il alors plus intéressant pour l’entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2?
Correction
D’après les questions précédentes, on peut estimer qu’il y a une proportion de lots de 2 pots non commercialisables de 0,4% bien plus faible que la proportion de pots non commercialisables de 3% quand on les considère individuellement. Il est donc plus intéressant pour l’entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2.
Exercice 2
Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92% des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à 10−2 près.
1
On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100.
Correction
Nous avons n=100 et p=0,92. Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30 , np≥5 et n(1−p)≥5
100≥30 donc n≥30
100×0,92=92 donc np≥5
100×(1−0,92)=8 donc n(1−p)≥5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On a alors : I=[p−1,96×np×(1−p);p+1,96×np×(1−p)] I=[0,92−1,96×1000,92×(1−0,92);0,92+1,96×1000,92×(1−0,92)] I=[0,87;0,97]. Ici 0,87 est une valeur approchée par défaut de 0,92−1,96×1000,92×(1−0,92) Ici 0,97 est une valeur approchée par excès de 0,92+1,96×1000,92×(1−0,92)
2
Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l’hypothèse du directeur?
Correction
On détermine la fréquence des sachets efficaces, il vient alors que : fobs=10088≈0,88 Or fobs∈[0,87;0,97]. Nous pouvons accepter l’hypothèse du directeur car dans ce lot, la fréquence de plantes résistantes 0,88 appartient à l’intervalle de fluctuation.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,92.
3
Déterminer l’espérance et l’écart type de X (arrondi à 0,01 près).
Correction
X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p), alors l’espérance mathématique E(X), la variance V(X) et l’écart type σ(X) sont égales à :
E(X)=n×p
V(X)=n×p×(1−p)
σ(X)=V(X)=n×p×(1−p)
Ainsi : E(X)=100×0,92 donc
E(X)=92
V(X)=100×0,92×(1−0,92) d'où :
V(X)=7,36
σ(X)=7,36 d'où :
σ(X)≈2,71
On définit la variable aléatoire Y qui suit la loi normale de paramètres μ=92 et d'écart type σ=2,7.
4
En utilisant la variable aléatoire Y, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 89 et 94.
Correction
Il nous faut donc calculer : P(89≤Y≤94) Avec une calculatrice Texas, pour P(89≤Y≤94) on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type) C'est-à-dire ici NormalFrep(89; 94; 92; 2,7) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(89≤Y≤94)≈0,64
Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(89≤Y≤94) on tape :
Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l’épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à 10−3 près.
PARTIE A : On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9. Soit X la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.
1
Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Correction
A chaque tirage la probabilité de tirer une pièce conforme est de 0,9 On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli : On appelle succès "tirer une pièce conforme" avec la probabilité p=0,9 On appelle échec "tirer une pièce non conforme" avec la probabilité 1−p=0,1 On répète dix fois de suite cette expérience de façon indépendante. X est la variable aléatoire qui associe le nombre de fois que l'on tire une pièce conforme. X suit la loi binomiale de paramètre n=10 et p=0,9 On note alors X∼B(10;0,9)
2
Calculer l’espérance mathématique E(X) et l’écart type σ(X) de la variable aléatoire X.
Correction
X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p), alors l’espérance mathématique E(X), la variance V(X) et l’écart type σ(X) sont égales à :
E(X)=n×p
V(X)=n×p×(1−p)
σ(X)=V(X)=n×p×(1−p)
Ainsi : E(X)=10×0,9 donc
E(X)=9
V(X)=10×0,9×(1−0,9) d'où :
V(X)=0,9
σ(X)=0,9 d'où :
σ(X)≈0,94
3
Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.
Correction
Il nous faut calculer P(X≥8). Or P(X≥8)=1−P(X≤7) Nous allons détailler la manière de calculer la valeur P(X≤7) Avec une Texas, on tape pour P(X≤7) (tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Texas" pour plus de détails)2nd - DISTR -- puis choisir BinomFrep(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp(10, 0.9 , 7) puis taper sur enter et on obtient :
P(X≤7)≈0,070
arrondi à 10−3 près. Enfin : P(X≥8)=1−P(X≤7)≈1−0,070≈0,93 Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdpAvec une Casio Graph 35+ ou modèle supérieur, on tape pour P(X≤7) (tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Casio" pour plus de détails) Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.
On remplit le tableau de la manière qui suit :
D.P. Binomiale Data Variable x : 7 valeur de k Numtrial : 10 valeur de n p : 0,9 valeur de p
puis taper sur EXE et on obtient :
P(X≤7)≈0,070
arrondi à 10−3 près. Enfin : P(X≥8)=1−P(X≤7)≈1−0,070≈0,93
PARTIE B : Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit M la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre. On suppose que M suit la loi normale d’espérance 80 et d’écart type 0,6.
4
Déterminer la probabilité P(79≤M≤81).
Correction
Nous savons que μ=80 et σ=0,6. Pour le calcul de P(79≤M≤81), on procède comme suit : Avec une calculatrice Texas, pour P(79≤M≤81) on tape NormalFrep(valeur min, valeur max, espérance, écart type) C'est-à-dire ici NormalFrep(79, 81, 80, 6) puis on tape sur Enter et on obtient :
P(79≤M≤81)≈0,904
Avec une calculatrice Casio Graph 35+, pour P(2≤X≤3) on tape :
Quelle est la probabilité que le diamètre d’une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80?
Correction
Comme l’espérance est égale à 80, la probabilité que le diamètre d’une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 est égale à 0,5
PARTIE C : On s’intéresse dans cette partie à l’épaisseur des médailles. On fait l’hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5% des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.
6
Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de 300 médailles.
Correction
Ici nous avons n=300 et p=0,05 Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30 , np≥5 et n(1−p)≥5
300≥30 donc n≥30
300×0,05=15 donc np≥5
300×(1−0,05)=285 donc n(1−p)≥5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On a alors : I=[p−1,96×np×(1−p);p+1,96×np×(1−p)] I=[0,05−1,96×3000,05×(1−0,05);0,05+1,96×3000,05×(1−0,05)] I=[0,025;0,075]. Ici 0,025 est une valeur approchée par défaut de 0,05−1,96×3000,05×(1−0,05) Ici 0,075 est une valeur approchée par excès de 0,05+1,96×3000,05×(1−0,05)
7
On prélève un échantillon de 300 médailles. On constate que dans cet échantillon, 24 médailles ont une épaisseur non conforme. Doit-on réviser le réglage de la machine?
Correction
On détermine la fréquence d’apparition des médailles non conformes dans l'échantillon, il vient alors que : fobs=30024=0,08 Or fobs∈/[0,025;0,075], donc au seuil de confiance de 95% on décide de revoir le réglage de la machine.
Exercice 4
1
Le directeur du personnel affirme que 85% des salariés sont satisfaits au sein de l’entreprise. Afin de vérifier cette déclaration, on interroge au hasard 120 employés. Parmi eux, 94 répondent qu’ils sont satisfaits. Que peut-on penser de l’affirmation du directeur du personnel?
Correction
L’échantillon est de taille n=120, la proportion supposée de salariés satisfaits dans l'entreprise p=0,85. Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30 , np≥5 et n(1−p)≥5
120≥30 donc n≥30
120×0,85=102 donc np≥5
120×(1−0,85)=18 donc n(1−p)≥5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On a alors : I=[p−1,96×np×(1−p);p+1,96×np×(1−p)] I=[0,85−1,96×1200,85×(1−0,85);0,85+1,96×1200,85×(1−0,85)] I=[0,786;0,914]. Ici 0,786 est une valeur approchée par défaut de 0,85−1,96×1200,85×(1−0,85) Ici 0,914 est une valeur approchée par excès de 0,85+1,96×1200,85×(1−0,85) De plus, la fréquence observée de salariés satisfaits sur l’échantillon est fobs=12094≈0,783 Or fobs∈/[0,783;0,0,913]. On peut donc remettre en cause l’affirmation du directeur du personnel au risque de 5% de se tromper.
Exercice 5
1
Une étude précise que 48% des Français ne sont pas satisfaits par la politique du président actuel. Un sondage effectuée en Mayenne (53) révèle que parmi 2700 personnes, 1290 ne sont pas satisfaits. Ce sondage est-il représentatif des Français?
Correction
Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30 , np≥5 et n(1−p)≥5 avec p=0,48 et n=2700 .
2700≥30 donc n≥30
2700×0,48=1296 donc np≥5
2700×(1−0,48)=1404 donc n(1−p)≥5
Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On a alors : I=[p−1,96×np×(1−p);p+1,96×np×(1−p)] I=[0,48−1,96×27000,48×(1−0,48);0,48+1,96×27000,48×(1−0,48)] I=[0,461;0,499]. Ici 0,461 est une valeur approchée par défaut de 0,48−1,96×27000,48×(1−0,48) Ici 0,499 est une valeur approchée par excès de 0,48+1,96×27000,48×(1−0,48) Sur les 2700 personnes, 1290 ne sont pas satisfaits par la politique du président actuel. On détermine la fréquence des personnes insatisfaites dans l'échantillon, il vient alors que : fobs=27001290≈0,478 Or fobs∈[0,461;0,499], donc la fréquence fobs est dans l'intervalle. Donc, au risque de 5%, ce sondage est bien représentatif des Français.
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