Exercice 7 - Exercice 1

$${\color{blue}\text{ L'affirmation 1 est fausse}}$$
Dans un premier temps, nous allons compléter l'arbre de probabilité. $$A$$ et $$\overline{A}$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
$$P\left(B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)$$
$$P\left(B\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(B\right)$$
Soit : $$P\left(B\right)=0,65\times 0,2 +0,35\times 0,3$$
Ainsi :

$${\color{blue}\text{ L'affirmation 2 est vraie}}$$On utilise le rappel. Il vient alors que :
$$P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$$
$$P_{B} \left(A\right)=\frac{P\left(A\right)\times P_{A} \left(B\right)}{P\left(B\right)}$$
$$P_{B} \left(A\right)=\frac{0,65\times 0,2}{0,235}$$ car d'après la question précédente, nous savons que : $$P\left(B\right)=0,235$$
arrondi à $$10^{-2}$$ près.

$${\color{blue}\text{ L'affirmation 3 est vraie}}$$
Il faut vérifier les conditions suivantes $$n\ge 30$$ , $$np\ge 5$$ et $$n\left(1-p\right)\ge 5$$.
Ici $$p=0,56$$ et $$n=200$$

• $$200\ge 30$$ donc $$n\ge 30$$
• $$200\times 0,56=112$$ donc $$np\ge 5$$
• $$200\times \left(1-0,56\right)=88$$ donc $$n\left(1-p\right)\ge 5$$

Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $$95\%$$.
On a alors :
$$I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]$$
$$I=\left[0,56-1,96\times \frac{\sqrt{0,56\times \left(1-0,56\right)} }{\sqrt{200} } ;0,56+1,96\times \frac{\sqrt{0,56\times \left(1-0,56\right)} }{\sqrt{200} } \right]$$
$$I=\left[0,491;0,629\right]$$
Ici $$0,491$$ est une valeur approchée par défaut de $$0,56-1,96\times \frac{\sqrt{0,56\times \left(1-0,56\right)} }{\sqrt{200} }$$
Ici $$0,629$$ est une valeur approchée par excès de $$0,56-1,96\times \frac{\sqrt{0,56\times \left(1-0,56\right)} }{\sqrt{200} }$$
Nous allons déterminer maintenant la fréquence $$f_{obs}$$ des personnes déclarant écouter de la musique classique de temps en temps dans l'échantillon. Il vient que : $$f_{obs}=\frac{140}{200}=0,7$$
Or $$f_{obs} \notin \left[0,491;0,629\right]$$, donc la fréquence $$f_{obs}$$ ddes personnes déclarant écouter de la musique classique de temps en temps dans l'échantillon n'est pas dans l'intervalle.
On peut rejeter, avec un risque d’erreur inférieur à $$5\%$$, le résultat donné par l’institut de sondage.

$${\color{blue}\text{ L'affirmation 4 est fausse}}$$
Nous remarquons que $$100-14=86$$ et de ce fait $$100+14=114$$
Il en résulte donc que : $$P\left(X\le 86\right)=0,242=P\left(X\ge 114\right)$$ car la fonction de densité de la loi normale est symétrique par rapport à l'axe $$x=\mu$$
De plus, nous savons que l'aire sous la cloche est égale à $$1$$.
Donc :
$$P\left(X\le 86\right)+P\left(86\le X\le 114\right)+P\left(X\ge 114\right)=1$$
$$0,242+P\left(86\le X\le 114\right)+0,242=1$$
$$P\left(86\le X\le 114\right)=1-0,242-0,242$$