Echantillonnage et estimation

Exercice 4 - Exercice 1

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Une entreprise produit à la chaîne des jouets pesant en moyenne 400400 g.
Suite à une étude statistique, on considère que la masse d'un jouet est une variable aléatoire XX qui suit la loi normale d'espérance μ=400\mu =400 et d'écart-type σ=11\sigma =11.
Dans tout l'exercice les résultats seront arrondis à 10210^{-2} .
Question 1

Déterminer P(385X415)P\left(385\le X\le 415\right).
Interpréter ce résultat.

Correction
Pour le calcul de P(385X415)P\left(385\le X\le 415\right)
Avec une Texas, on tape pour P(385X415)P\left(385\le X\le 415\right) NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep(385385 , 415415 , 400400 , 1111 ) puis taper sur enter et vous obtiendrez :
P(385X415)0,83P\left(385\le X\le 415\right)\approx 0,83

Avec une Casio Graph 35+, on tape pour P(385X415)P\left(385\le X\le 415\right)
Normal C.D
Lower : 385385 Valeur Minimale
Upper : 415415 Valeur Maximale
σ\sigma : 1111 Ecart type
μ\mu : 400400 Espérance

Puis taper sur EXE et vous obtiendrez
P(385X415)0,83P\left(385\le X\le 415\right)\approx 0,83

Cela signifie qu'avec ce modèle il devrait y avoir 83% des jouets dont la masse en grammes est comprise entre 385 et 415.
Question 2

Justifier, en utilisant des propriétés du cours, que P(X>411)0,16P\left(X>411\right)\approx 0,16.

Correction
D'après les propriétés de la loi normale, on sait que P(μσXμ+σ)0,68P\left(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma \right)\approx 0,68.
On peut donc, pour des raisons de symétrie de la courbe en cloche, déduire que P(Xμσ)10,6820,16P\left(X\le \mu -\sigma \right)\approx \frac{1-0,68}{2} \approx 0,16 (en bleu) et que P(Xμ+σ)0,16P\left(X\ge \mu +\sigma \right)\approx 0,16 (en vert)

Or μ=400\mu =400 et σ=11\sigma =11 donc μ+σ=411\mu +\sigma =411, et donc P(X411)0,16P\left(X\ge 411\right)\approx 0,16
Question 3

Un jouet est commercialisable s'il pèse au maximum 420420 g.
Quelle est la probabilité que le jouet soit commercialisable ?

Correction
Un jouet est commercialisable s'il pèse au maximum 420420 g.
Pour le calcul de P(X420)P\left(X\le 420\right) :
Avec une Texas, on tape pour P(X420)P\left(X\le 420\right) NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep(1099-10^{99} , 420420 , 400400 , 1111 ) puis taper sur enter et vous obtiendrez :
P(X420)0,97P\left(X\le 420\right)\approx 0,97

Avec une Casio Graph 35+, on tape pour P(X420)P\left(X\le 420\right)
Normal C.D
Lower : 1099-10^{99} Valeur Minimale
Upper : 420420 Valeur Maximale
σ\sigma : 1111 Ecart type
μ\mu : 400400 Espérance

Puis taper sur EXE et vous obtiendrez
P(X420)0,97P\left(X\le 420\right)\approx 0,97

La probabilité qu'un jouet soit commercialisable est de 97%97\%.
Question 4
On cherche à contrôler la qualité des jouets.
Pour cela on choisit de façon aléatoire un échantillon de 300300 jouets.

Vérifier que les conditions de détermination de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% de la fréquence de jouets commercialisables sont vérifiées.

Correction
Les conditions de détermination de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de jouets commercialisables sont : n30n\ge 30, np5np\ge 5 et n(1p)5n(1-p)\ge 5.
n=30030;p=0,97n=300\ge 30;p=0,97et np5np\ge 5 et n(1p)=300×0,03=95n(1-p)=300\times 0,03=9\ge 5.
Les conditions sont donc vérifiées.
Question 5

Déterminer cet intervalle.

Correction
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de jouets commercialisables est :
I=[p1,96p(1p)n;p+1,96p(1p)n]I=\left[p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} }; p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \right]
I=[0,971,960,97×0,03300;0,97+1,960,97×0,03300][0,95;0,99]I=\left[0,97-1,96\frac{\sqrt{0,97\times 0,03} }{\sqrt{300} } ; 0,97+1,96\frac{\sqrt{0,97\times 0,03} }{\sqrt{300} } \right]\approx \left[0,95;0,99\right]
I=[0,95;0,99]I=\left[0,95;0,99\right]
Ici 0,950,95 est une valeur approchée par défaut de 0,971,960,97×0,033000,97-1,96\frac{\sqrt{0,97\times 0,03} }{\sqrt{300} }
Ici 0,990,99 est une valeur approchée par excès de 0,97+1,960,97×0,033000,97+1,96\frac{\sqrt{0,97\times 0,03} }{\sqrt{300} }
Question 6

On constate que 280280 jouets de l'échantillon sont commercialisables.
Ce résultat remet-il en question la modélisation effectuée par l'entreprise ?

Correction
On constate que 280280 jouets de l'échantillon sont commercialisables, ce qui fait une fréquence observée de fobs=2803000,93f_{obs} =\frac{280}{300} \approx 0,93.
Or : 0,93I0,93\notin I donc ce résultat remet en cause la modélisation effectuée par l'entreprise.