Continuité, dérivation, lectures graphiques et convexité

Théorème des valeurs intermédiaires pour les confirmés - Exercice 1

30 min
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Soit gg la fonction définie sur [−2;5]\left[-2;5\right] par g(x)=−x3+x2+3g\left(x\right)=-x^{3} +x^{2} +3
Question 1

Déterminer le tableau de variation de la fonction gg sur [−2;5]\left[-2;5\right]

Correction
On va commencer par calculer la dérivée de gg.
Il vient alors que :
g′(x)=−3x2+2xg'\left(x\right)=-3x^{2} +2x
C'est une équation du second degré. On calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : Δ=4\Delta =4.
Il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : x1=23x_{1} =\frac{2}{3} et x2=0x_{2} =0
Comme a=−3<0a=-3<0, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
On en déduit le tableau de signe de g′g' ainsi que le tableau de variation de gg.
On indiquera les valeurs des extrema.
De plus :
g(0)=−03+02+3g\left(0\right)=-0^{3} +0^{2} +3 ainsi g(0)=3g\left(0\right)=3
g(23)=−(23)3+(23)2+3g\left(\frac{2}{3} \right)=-\left(\frac{2}{3} \right)^{3} +\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +3 ainsi g(23)=8527g\left(\frac{2}{3} \right)=\frac{85}{27}
De la même manière : g(−2)=15g\left(-2\right)=15 et g(5)=−97g\left(5\right)=-97
Question 2

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution sur [−2;5]\left[-2;5\right].
On notera α\alpha cette solution.

Correction
On reprend le tableau de variation fait à la question 11. On fera apparaitre dans le tableau le zéro que l'on recherche.
  • Sur [−2;23]\left[-2;\frac{2}{3} \right], la fonction gg est continue et admet 33 comme minimum.
    La fonction gg est strictement positive.
    Donc l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
  • Sur [23;5]\left[\frac{2}{3} ;5\right], la fonction gg est continue et strictement décroissante.
    De plus, g(23)=8527g\left(\frac{2}{3} \right)=\frac{85}{27} et g(5)=−97g\left(5\right)=-97 .
    Or 0∈[−97;8527]0\in\left[-97;\frac{85}{27} \right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans [−2;5]\left[-2;5\right] tel que g(x)=0g\left(x\right)=0.
Question 3

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10−210^{-2} près.

Correction
A la calculatrice, on vérifie que :
g(1,86)≈0,0247g\left(1,86\right)\approx 0,0247 et g(1,87)≈−0,042g\left(1,87\right)\approx -0,042 .
Or 0∈]−0,042;0,0247]0\in \left]-0,042;0,0247\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :
1,86≤α≤1,871,86\le \alpha \le 1,87
Question 4

Déterminer le signe de la fonction gg sur [−2;5]\left[-2;5\right]

Correction
Sur [−2;23]\left[-2;\frac{2}{3} \right], la fonction gg est continue et admet 33 comme minimum.
La fonction gg est strictement positive.
Sur [23;5]\left[\frac{2}{3} ;5\right], la fonction gg est continue et strictement décroissante et g(α)=0g\left(\alpha \right)=0.
Donc g(x)≥0g\left(x\right)\ge 0 pour tout x∈[−2;α]x\in \left[-2;\alpha \right] et g(x)≤0g\left(x\right)\le 0 pour tout x∈[α;5]x\in \left[\alpha ;5\right].
On résume cela dans un tableau de signe :