Continuité, dérivation, lectures graphiques et convexité

Rappels : équations de tangentes - Exercice 1

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Pour les fonctions suivantes déterminer une équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse aa.
Question 1

f(x)=2x2+3x5 ;a=1f\left(x\right)=-2x^{2} +3x-5~; a=1

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=1a=1, ce qui donne, y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right).
1ère étape : calculer la dérivée de ff
f(x)=2×2x+3f'\left(x\right)=-2\times 2x+3
f(x)=4x+3f'\left(x\right)=-4x+3
2ème étape : calculer f(1)f\left(1\right)
f(1)=2×12+3×15f\left(1\right)=-2\times 1^{2} +3\times 1-5
f(1)=4f\left(1\right)=-4
3ème étape : calculer f(1)f'\left(1\right)
f(1)=4×1+3f'\left(1\right)=-4\times 1+3
f(1)=1f'\left(1\right)=-1
4ème étape : on remplace les valeurs de f(1)f\left(1\right) et de f(1)f'\left(1\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(1)(x1)+f(1)y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
y=(1)×(x1)4y=\left(-1\right)\times \left(x-1\right)-4
y=x+14y=-x+1-4
y=x3y=-x-3
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 11 est alors y=x3y=-x-3.
Question 2

f(x)=x3+3x5 ;a=2f\left(x\right)=-x^{3} +3x-5~; a=2

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=2a=2, ce qui donne, y=f(2)(x2)+f(2)y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right).
1ère étape : calculer la dérivée de ff
f(x)=3×x2+3f'\left(x\right)=-3\times x^{2} +3
f(x)=3x2+3f'\left(x\right)=-3x^{2} +3
2ème étape : calculer f(2)f\left(2\right)
f(2)=23+3×25f\left(2\right)=-2^{3} +3\times 2-5
f(2)=7f\left(2\right)=-7
3ème étape : calculer f(2)f'\left(2\right)
f(2)=3×22+3f'\left(2\right)=-3\times 2^{2} +3
f(2)=9f'\left(2\right)=-9
4ème étape : on remplace les valeurs de f(2)f\left(2\right) et de f(2)f'\left(2\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(2)(x2)+f(2)y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)
y=9×(x2)7y=-9\times \left(x-2\right)-7
y=9x+187y=-9x+18-7
y=9x+11y=-9x+11
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 22 est alors y=9x+11y=-9x+11
Question 3

f(x)=(3x1)(2x+6) ;a=1f\left(x\right)=\left(3x-1\right)\left(2x+6\right)~; a=-1

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=1a=-1, on a alors y=f(1)(x(1))+f(1)y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right) ce qui donne : y=f(1)(x+1)+f(1)y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right).
1ère étape : calculer la dérivée de ff
On reconnaît la forme (uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=3x1u\left(x\right)=3x-1 et v(x)=2x+6v\left(x\right)=2x+6
Ainsi : u(x)=3u'\left(x\right)=3 et v(x)=2v'\left(x\right)=2.
Il vient alors que :
f(x)=3×(2x+6)+(3x1)×2f'\left(x\right)=3\times \left(2x+6\right)+\left(3x-1\right)\times 2
f(x)=6x+18+6x2f'\left(x\right)=6x+18+6x-2
f(x)=12x+16f'\left(x\right)=12x+16
2ème étape : calculer f(1)f\left(-1\right)
f(1)=(3×(1)1)×(2×(1)+6)f\left(-1\right)=\left(3\times \left(-1\right)-1\right)\times \left(2\times \left(-1\right)+6\right)
f(1)=(31)×(2+6)f\left(-1\right)=\left(-3-1\right)\times \left(-2+6\right)
f(1)=(4)×4f\left(-1\right)=\left(-4\right)\times 4
f(1)=16f\left(-1\right)=-16
3ème étape : calculer f(1)f'\left(-1\right)
f(1)=12×(1)+16f'\left(-1\right)=12\times \left(-1\right)+16
f(1)=12+16f'\left(-1\right)=-12+16
f(1)=4f'\left(-1\right)=4
4ème étape : on remplace les valeurs de f(2)f\left(2\right) et de f(2)f'\left(2\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(1)(x+1)+f(1)y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)
y=4×(x+1)16y=4\times \left(x+1\right)-16
y=4x+416y=4x+4-16
y=4x12y=4x-12
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 1-1 est alors y=4x12y=4x-12