Continuité, dérivation, lectures graphiques et convexité

Exercices types : 22ème partie

Exercice 1

Soit gg la fonction définie sur [2;10]\left[-2;10 \right] par g(x)=2x32x2+10x+18g\left(x\right)=-2x^{3} -2x^{2}+10x+18.
1

Déterminer le tableau de variation de la fonction gg sur [2;10]\left[-2;10 \right].

Correction
2

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution sur [2;10]\left[-2;10 \right].
On notera α\alpha cette solution.

Correction
3

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
4

Déterminer le signe de la fonction gg sur [2;10]\left[-2;10 \right].

Correction

Exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=x46x2+5f\left(x\right)=x^{4}-6x^{2}+5 et Cf\mathscr{C_f} sa courbe représentative dans un repère du plan.
1

La courbe Cf\mathscr{C_f} admet un point d'inflexion de coordonnées (1;0)\left(1;0\right).

Correction
2

La fonction ff est convexe sur les intervalles ];1]\left]-\infty;-1\right] et [1;+[\left[1;+\infty\right[. Elle est concave sur l'intervalle [1;1]\left[-1;1\right].

Correction
3

La tangente TT à la courbe Cf\mathscr{C_f} au point d’abscisse 1-1 a pour équation : y=8x+16y=8x+16.

Correction

Exercice 3

Soit ff une fonction définie sur [2;4]\left[-2;4\right] par : f(x)=2x36x2+9f\left(x\right)=2x^{3}-6x^{2}+9 et Cf\mathscr{C_f} sa courbe représentative dans un repère du plan.
1

Montrer que ff est continue sur [2;4]\left[-2;4\right].

Correction
2

Etudier les variations de la fonction ff sur l'intervalle [2;4]\left[-2;4\right].

Correction
3

Démontrer que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur [2;4]\left[-2;4 \right].
On notera α\alpha cette solution.

Correction
4

En déduire le signe de ff sur l'intervalle [2;4]\left[-2;4 \right].

Correction
5

Déterminer une équation de la tangente TT à la courbe Cf\mathscr{C_f} au point d'abscisse 11.

Correction

Exercice 4

On considère la fonction gg une fonction définie sur [2;3]\left[-2 ;3\right] par : g(x)=4x3+3x4g\left(x\right)=4x^{3}+3x-4 et Cg\mathscr{C_g} sa courbe représentative dans un repère du plan.
1

Déterminer le tableau de variation de la fonction gg sur [2;3]\left[-2 ;3\right].

Correction
2

Démontrer que l'équation g(x)=0g\left(x\right)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [2;3]\left[-2 ;3\right].
On notera α\alpha cette solution.

Correction
3

Déterminer un encadrement de α\alpha à 10210^{-2} près.

Correction
4

En déduire le signe de gg sur l'intervalle [2;3]\left[-2 ;3\right].

Correction
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