Continuité, dérivation, lectures graphiques et convexité

Exercice 5 - Exercice 1

1 min
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L'exercice suivant est un Q. C. M. (questionnaire à choix multiples).
Pour chaque proposition choisir l'unique bonne réponse.
Vous devez bien sûr justifier.
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :f(x)=xe−xf\left(x\right)=xe^{-x}
La courbe représentative de ff est tracée dans le repère ci-dessous :
Question 1

Pour tout réel xx, f′(x)=f'\left(x\right)= est égale à :
  • −e−x-e^{-x}
  • e−xe^{-x}
  • (1−x)e−x\left(1-x\right)e^{-x}

Correction
La bonne réponse est c.
(eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
Soit f(x)=xe−xf\left(x\right)=xe^{-x} .
On reconnait la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)^{'} =u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
Donc : f′(x)=e−x−xe−xf'\left(x\right)=e^{-x} -xe^{-x} .
On factorise par e−xe^{-x} .
On obtient :
f′(x)=(1−x)e−xf'\left(x\right)=\left(1-x\right)e^{-x}
Question 2

La tangente à la courbe représentative de ff au point d'abscisse 0 a pour équation :
  • y=xy=x
  • y=2xy=2x
  • y=−xy=-x

Correction
La bonne réponse est a.

On sait que la formule de l'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est : y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)
  • D'une part : f(x)=xe−xf\left(x\right)=xe^{-x} alors f(0)=0×e−0=0f\left(0\right)=0\times e^{-0} =0
  • D'autre part : f′(x)=(1−x)e−xf'\left(x\right)=\left(1-x\right)e^{-x} alors f′(0)=(1−0)e−0=1f'\left(0\right)=\left(1-0\right)e^{-0} =1

Il en résulte que :
y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right) s'écrit : y=1(x−0)+0y=1\left(x-0\right)+0
Ainsi :
y=xy=x
Question 3

Une primitive FF de ff est définie sur R\mathbb{R} par :
  • F(x)=12x2e−xF\left(x\right)=\frac{1}{2} x^{2} e^{-x}
  • F(x)=−(1+x)e−xF\left(x\right)=-\left(1+x\right)e^{-x}
  • F(x)=−xe−xF\left(x\right)=-xe^{-x}

Correction
La bonne réponse est b.

Une primitive FF de ff vérifie F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Avec F(x)=−(1+x)e−xF(x)=-\left(1+x\right)e^{-x} .
On reconnait la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)^{'} =u'v+uv' avec u(x)=−(1+x)u\left(x\right)=-\left(1+x\right) et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
Ainsi u′(x)=−1u'\left(x\right)=-1 et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x}
On obtient :
F′(x)=−e−x−(1+x)(−1)e−xF'\left(x\right)=-e^{-x} -\left(1+x\right)\left(-1\right)e^{-x}
F′(x)=−e−x+(1+x)e−xF'\left(x\right)=-e^{-x} +\left(1+x\right)e^{-x}
F′(x)=−e−x+e−x+xe−xF'\left(x\right)=-e^{-x} +e^{-x} +xe^{-x}
F′(x)=xe−xF'\left(x\right)=xe^{-x}
D'où :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Question 4

La valeur de ∫02f(x)dx\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx est :
  • négative
  • inférieure à 11
  • supérieure à 33

    Correction
    La bonne réponse est b.

    D'après la question précédente, on sait qu'une primitive de ff s'écrit F(x)=−(1+x)e−xF\left(x\right)=-\left(1+x\right)e^{-x}
    Il vient alors que :
    ∫02f(x)dx=F(2)−F(0)\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx =F\left(2\right)-F\left(0\right)
    ∫02f(x)dx=−(1+2)e−2−(−(1+0)e−0)\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx =-\left(1+2\right)e^{-2} -\left(-\left(1+0\right)e^{-0} \right)
    ∫02f(x)dx=−3e−2+1\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx =-3e^{-2} +1
    ∫02f(x)dx≈0,59\int _{0}^{2}f\left(x\right)dx \approx 0,59
    Question 5

    La fonction ff est :
    • concave sur R\mathbb{R}
    • convexe sur R\mathbb{R}
    • concave sur ]−∞;2]\left]-\infty ;2\right] et convexe sur [2;+∞[\left[2;+\infty \right[

    Correction
    La bonne réponse est c.
    On va étudier le signe de la dérivée seconde de ff que l'on note f"f"
    On sait que :
    f′(x)=(1−x)e−xf'\left(x\right)=\left(1-x\right)e^{-x} .
    On reconnait la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)^{'} =u'v+uv' avec u(x)=1−xu\left(x\right)=1-x et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
    Ainsi u′(x)=−1u'\left(x\right)=-1 et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x}
    D'où :
    f"(x)=−e−x+(1−x)(−e−x)f"\left(x\right)=-e^{-x} +\left(1-x\right)\left(-e^{-x} \right)
    f"(x)=−e−x−e−x+xe−xf"\left(x\right)=-e^{-x} -e^{-x} +xe^{-x}
    f"(x)=−2e−x+xe−xf"\left(x\right)=-2e^{-x} +xe^{-x}
    f"(x)=−2e−x+xe−xf"\left(x\right)=-2e^{-x} +xe^{-x}
    f"(x)=e−x(−2+x)f"\left(x\right)=e^{-x} \left(-2+x\right)
    Pour tout réel xx, on sait que e−x>0e^{-x} >0.
    Ainsi le signe de la dérivée seconde f"f" dépend de −2+x-2+x.
    −2+x≥0⇔x≥2-2+x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de −2+x-2+x lorsque xx sera supérieur ou égale à 22.
    On en déduit le tableau de variation suivant :
    Question 6

    L'équation f(x)=12f\left(x\right)=\frac{1}{2} admet :
    • aucune solution
    • une solution
    • deux solutions

    Correction
    La bonne réponse est a.

    A l'aide du graphique, on vérifie facilement que la courbe ne croise pas la droite d'équation y=12y=\frac{1}{2} .
    Il n'a donc pas de solution à l'équation f(x)=12f\left(x\right)=\frac{1}{2} .