Continuité, dérivation, lectures graphiques et convexité

Exercice 4 - Exercice 1

1 min
0
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question posée, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé la courbe CfC_{f} représentative d'une fonction ff définie et dérivable sur [−5;3]\left[-5;3\right] ainsi que les tangentes à la courbe CfC_{f} aux points CfC_{f} , B(1;32)B\left(1;\frac{3}{2} \right) et C(4;0)C\left(4;0\right).
Question 1

On note f′f' la dérivée de la fonction ff alors :
  • f′(−3)=0f'\left(-3\right)=0
  • f′(−3)=−3f'\left(-3\right)=-3
  • f′(4)=0f'\left(4\right)=0
  • f′(4)=−1f'\left(4\right)=-1

Correction
La bonne réponse est d.
f′(−3)f'\left(-3\right) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse −3-3 donc au point AA.
De plus, le point H(−12;32)H\left(-\frac{1}{2} ;\frac{3}{2} \right) appartient à cette tangente.
A l'aide du point AA et du point HH on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente.
f′(−3)=yA−yHxA−xHf'\left(-3\right)=\frac{y_{A} -y_{H} }{x_{A} -x_{H} } donc f′(−3)=0−32−3+12=35f'\left(-3\right)=\frac{0-\frac{3}{2} }{-3+\frac{1}{2} } =\frac{3}{5}
f′(4)f'\left(4\right) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4 donc au point CC.
De plus, le point L(3;1)L\left(3;1\right) appartient à cette tangente.
A l'aide du point CC et du point LL on va pouvoir donner le coefficient directeur de la tangente.
f′(4)=yL−yCxL−xCf'\left(4\right)=\frac{y_{L} -y_{C} }{x_{L} -x_{C} }
f′(4)=1−03−4f'\left(4\right)=\frac{1-0}{3-4}
D'où :
f′(4)=−1f'\left(4\right) =-1
Question 2

On note FF la primitive de la fonction ff telle que F(0)=0F\left(0\right)=0
  • F(4)=F(−3)F\left(4\right)=F\left(-3\right)
  • F(1)>F(4)F\left(1\right)>F\left(4\right)
  • F(4)>0F\left(4\right)>0
  • F(4)<0F\left(4\right)<0

Correction
La bonne réponse est c.
Nous connaissons la représentation graphique de ff.
Nous allons dresser le tableau de signe de ff et nous obtiendrons les variations de FF car on rappelle que F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
On remarque grâce au graphique de ff que :
  • ff est négative sur ]−∞;−3]\left]-\infty ;-3\right] et sur l'intervalle [4;+∞[\left[4;+\infty \right[ donc FF est décroissante sur ]−∞;−3]\left]-\infty ;-3\right] et sur l'intervalle [4;+∞[\left[4;+\infty \right[.
  • ff est positive sur [−3;4]\left[-3;4\right] donc que FF est croissante sur [−3;4]\left[-3;4\right].

Ce qui donne :
On sait que F(0)=0F\left(0\right)=0 et que FF est croissante sur [0;4]\left[0;4\right], il en résulte que F(4)>0F\left(4\right)>0.
Question 3

La fonction FF est :
  • Est concave sur ]−∞;−3[\left]-\infty ;-3\right[
  • Est convexe sur ]−3;4[\left]-3;4\right[
  • Change de convexité pour x=−3x=-3 et x=4x=4
  • Change de convexité pour x=1x=1

Correction
La bonne réponse est d.
On rappelle que F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right), donc si l'on connait les variations de ff nous connaitrons le signe de f′f' et on déterminera la convexité de FF.
On voit bien que l'unique point d'inflexion est atteint au point d'abscisse 11.
Question 4

On note II l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré :
  • I=∫4−3f(x)dxI=\int _{4}^{-3}f\left(x\right)dx
  • 6≤I≤7,56\le I\le 7,5
  • 13≤I≤1513\le I\le 15
  • I=f(4)−f(−3)I=f\left(4\right)-f\left(-3\right)

Correction
La bonne réponse est b.
La fonction ff est positive sur [−3;4]\left[-3;4\right] donc l'intégrale II est positive et est égale à l'aire du domaine hachuré sur la figure.
Sachant que huit petits carreaux ont une aire de 11.
On compte le nombre de petits carreaux sous la courbe et l'axe des abscisses et délimité par les droites verticales x=−4x=-4 et x=−5x=-5.
On compte un peu plus de 5252 petits carreaux.
Comme 88 petits carreaux ont une aire de 11, on a donc une aire supérieure à 6.56.5 car nous avons 5252 petits carreaux.
Autrement dit :
6≤I≤7,56\le I\le 7,5
.