Continuité, dérivation, lectures graphiques et convexité

Exercice 2 - Exercice 1

1 min
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Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Vous devez bien sûr justifier
Question 1

Parmi toutes les fonctions définies sur et dont l'expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :
  • x3−3x2+4x^{3} -3x^{2} +4
  • ln⁡x\ln x
  • −ex-e^{x}
  • x2+x+5x^{2} +x+5

Correction
La bonne réponse est d.
On sait que la fonction logarithme népérien est concave, que la fonction exponentielle est convexe, donc son opposé sera concave.
On calcule alors la dérivée seconde des fonctions fa′′(x)=6x−6f''_{a} (x)=6x-6 (c'est la dérivée seconde de la réponse a) et fd′′(x)=2f''_{d} (x)=2 (c'est la dérivée seconde de la réponse d).
Seule la fonction fd(x)f_{d} (x) a une dérivée positive sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
Question 2

Une primitive de ff sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ définie par f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x est la fonction FF définie par :
  • F(x)=1xF(x)=\frac{1}{x}
  • F(x)=xln⁡(x)−xF(x)=x\ln (x)-x
  • F(x)=xln⁡(x)F(x)=x\ln (x)
  • F(x)=ln⁡(x)F(x)=\ln (x)

Correction
La bonne réponse est b.
Dans le cas où une primitive FF est donnée, il vous suffit de dériver FF et d'obtenir comme résultat ff.
Autrement dit, il faut que : F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
On calcule les dérivées des primitives données et on doit obtenir la fonction f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x.
On dérive la réponse b car il s'agit de la bonne réponse, les autres ne donneront pas f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x.
F(x)=xln⁡(x)−xF(x)=x\ln (x)-x
On reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
On note w(x)=−xw\left(x\right)=-x. Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} , enfin w′(x)=−1w'\left(x\right)=-1
Il vient alors que :
F′(x)=1×ln⁡(x)+x×1x−1F'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x} -1
F′(x)=ln⁡(x)+1−1F'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1-1
F′(x)=ln⁡(x)F'\left(x\right)=\ln \left(x\right)
Ainsi :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)
Question 3

La valeur de l'intégrale ∫01e2xdx\int _{0}^{1}e^{2x} dx est égale à :
  • 3,19
  • e2−1e^{2} -1
  • 12e2\frac{1}{2} e^{2}
  • 12(e2−1)\frac{1}{2} (e^{2} -1)

Correction
La bonne réponse est d.
Une primitive de eax+be^{ax+b} est de la forme 1aeax+b\frac{1}{a} e^{ax+b}
Soit f(x)=e2xf\left(x\right)=e^{2x} alors F(x)=12e2xF\left(x\right)=\frac{1}{2} e^{2x} .
Il vient alors que :
∫01e2xdx=F(1)−F(0)\int _{0}^{1}e^{2x} dx =F\left(1\right)-F\left(0\right) équivaut successivement à
∫01e2xdx=(12e2)−(12e0)\int _{0}^{1}e^{2x} dx =\left(\frac{1}{2} e^{2} \right)-\left(\frac{1}{2} e^{0} \right)
∫01e2xdx=12e2−12\int _{0}^{1}e^{2x} dx =\frac{1}{2} e^{2} -\frac{1}{2}
Finalement :
∫01e2xdx=12(e2−1)\int _{0}^{1}e^{2x} dx =\frac{1}{2} (e^{2} -1)
Question 4

Si une variable aléatoire XX suit la loi normale N(1;4)N(1;4) alors une valeur approchée au centième de P(2≤X≤3)P(2\le X\le 3) est :
  • 0,150,15
  • 0,090,09
  • 0,340,34
  • 0,130,13

Correction
La bonne réponse est a.
On détermine à la calculatrice la valeur de P(2≤X≤3)P(2\le X\le 3) sachant que XX suit une loi normale N(1;22)N(1;2^{2} ).
Ici μ=1\mu =1 et σ=2\sigma =2
Avec une Texas , on tape pour P(2≤X≤3)P\left(2\le X\le 3\right) NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type) c'est-à-dire ici : NormalFrep(22,33 ,11,33 )
Puis taper sur enter et vous obtiendrez :
P(2≤X≤3)≈0,15P\left(2\le X\le 3\right)\approx 0,15

Avec une Casio Graph 35+, on tape pour P(2≤X≤3)P\left(2\le X\le 3\right) :
Normal C.D
Lower : 22 Valeur Minimale
Upper : 33 Valeur Maximale
σ\sigma : 33 Ecart type
μ\mu : 11 Espérance

Puis taper sur EXE et vous obtiendrez :
P(2≤X≤3)≈0,15P\left(2\le X\le 3\right)\approx 0,15
Question 5

Dans une commune comptant plus de 100000100 000 habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100100 personnes interrogées, 5555 affirment être satisfaites de leur maire. L'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,950,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :
  • [0,35;0,75]\left[0,35;0,75\right]
  • [0,40;0,70]\left[0,40;0,70\right]
  • [0,45;0,65]\left[0,45;0,65\right]
  • [0,50;0,60]\left[0,50;0,60\right]

Correction
La bonne réponse est c.
On sait qu'un intervalle de confiance au seuil de 95%95\% est de la forme [f−1n;f+1n]\left[f-\frac{1}{\sqrt{n} } ;f+\frac{1}{\sqrt{n} } \right].
On a f=0,55f=0,55 et n=100n=100 soit [0,55−0,1;0,55+0,1]=[0,45;0,65]\left[0,55-0,1;0,55+0,1\right]=\left[0,45;0,65\right].