Continuité, dérivation, lectures graphiques et convexité

Exercice 1

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question posée, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
On a représenté dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe représentative C\mathscr{C} d'une fonction ff définie et deux fois dérivable sur l'intervalle [5;1]\left[-5;1\right].
La droite TT est la tangente à la courbe C\mathscr{C} au point A(3;6)A\left(-3;6\right) et passe par le point (5;2)\left(-5;-2\right).
Le point AA est l'unique point d'inflexion de la courbe C\mathscr{C} sur [5;1]\left[-5;1\right].
1

On note ff' la fonction dérivée de la fonction ff.
Alors :
  • f(3)=6f'\left(-3\right)=6
  • f(3)=4f'\left(-3\right)=4
  • f(3)=14f'\left(-3\right)=\frac{1}{4}
  • f(3)=16f'\left(-3\right)=\frac{1}{6}

Correction
2

On note ff'' la fonction dérivée seconde de la fonction ff.
Alors :
  • f(3)=6f''\left(-3\right)=6
  • f(3)=4f''\left(-3\right)=4
  • f(3)=0f''\left(-3\right)=0
  • f(3)=14f''\left(-3\right)=\frac{1}{4}

Correction
3

La fonction ff est :
  • Convexe sur [5;3]\left[-5;-3\right]
  • Convexe sur [5;1]\left[-5;-1\right]
  • Convexe sur [3;1]\left[-3;-1\right]
  • Concave sur [5;1]\left[-5;-1\right]

Correction
4

La fonction dérivée ff' est :
  • Décroissante sur [3;1]\left[-3;-1\right]
  • Croissante sur [3;1]\left[-3;-1\right]
  • Croissante sur [1;1]\left[-1;1\right]
  • Croissante sur [5;1]\left[-5;-1\right]

Correction
5

Toute primitive FF de la fonction ff est :
  • Décroissante sur [5;1]\left[-5;-1\right]
  • Croissante sur [5;1]\left[-5;-1\right]
  • Constante sur [5;1]\left[-5;-1\right]
  • Décroissante sur [1;1]\left[-1;1\right]

Correction
6

On note I=54f(x)dxI=\int _{-5}^{-4}f\left(x\right)dx .
Alors :
  • 2I0-2\le I\le 0
  • 5I4-5\le I\le -4
  • 0<I20<I\le 2
  • 2<I<42<I<4

Correction

Exercice 2

On donne ci-dessous la représentation graphique C\mathscr{C} d'une fonction ff définie et dérivable sur l'intervalle[1;3]\left[-1;3\right].
On note ff' la fonction dérivée de ff et FF une primitive de ff .
La tangente à la courbe C\mathscr{C} au point A(1;0)A\left(1;0\right) est tracée, elle passe par le point de coordonnées (0;3)\left(0;3\right).
1

La valeur de f(1)f'\left(1\right) est :
  • f(1)=3f'\left(1\right)=3
  • f(1)=3f'\left(1\right)=-3
  • f(1)=13f'\left(1\right)=-\frac{1}{3}
  • f(1)=0f'\left(1\right)=0

Correction
2

La fonction ff est :
  • Concave sur [1;1]\left[-1;1\right]
  • Convexe sur [1;1]\left[-1;1\right]
  • Concave sur [0;2]\left[0;2\right]
  • Convexe sur [0;2]\left[0;2\right]

Correction
3

On pose I=01f(x)dxI=\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx .
Un encadrement de II est :
  • 0I10\le I\le 1
  • 1I21\le I\le 2
  • 2I32\le I\le 3
  • 3I<43\le I<4

Correction
4

Toute primitive FF de la fonction ff est :
  • Croissante sur [0;1]\left[0;1\right]
  • Décroissante sur [0;1]\left[0;1\right]
  • Croissante sur [1;0]\left[-1;0\right]
  • Croissante sur [1;1]\left[-1;1\right]

Correction
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