Continuité, dérivation, lectures graphiques et convexité

Convexité et lecture graphique - Exercice 1

10 min
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On considère une fonction ff définie sur [0;6]\left[0;6\right] et deux fois dérivable.
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f′′f'', dérivée seconde de la fonction ff, dans un repère orthonormé.

Question 1

La courbe représentative de ff admet-elle des points d'inflexion ?

Correction
  • ff possède un point d'inflexion lorsque sa dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point.
Résolvons graphiquement : f′′(x)=0f''\left(x\right)=0.
Les solutions de f′′(x)=0f''\left(x\right)=0 sont donc x=1x=1 et x=5x=5. Il s'agit des points d'intersections entre la courbe et l'axe des abscisses.
La courbe admet donc deux points d'inflexions aux points d'abscisses 11 et 55.
Question 2

Sur quels intervalles, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ?

Correction
Pour étudier la convexité de la fonction ff, il faut étudier le signe de f′′f''.
  • Lorsque f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe.
  • Lorsque f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave.
D'après le graphique, on voit que :
f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [0;1]∪[5;6]\left[0;1\right]\cup \left[5;6\right]
f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [1;5]\left[1;5\right]
On résume cela dans un tableau :
Question 3

On donne f′f' la dérivée de la fonction ff.
Donner le tableau de variation de la fonction f′f'.

Correction
  • Lorsque f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors f′f' est croissante sur[a,b]\left[a,b\right].
  • Lorsque f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors f′f' est décroissante sur[a,b]\left[a,b\right].
D'après la question 22, on connaît le signe de f′′f''. On en déduit donc les variations de f′f'.