Vecteurs du plan : première Partie

Algorithme et vecteur - Exercice 1

15 min
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On donne l’algorithme ci-contre :
Question 1
Variables
xAx_{A}, yAy_{A}, xBx_{B}, yBy_{B}, xCx_{C}, yCy_{C}, xDx_{D}, yDy_{D}, xEx_{E}, yEy_{E}
Initialisation
Entrer les valeurs xAx_{A}, yAy_{A}, xBx_{B}, yBy_{B}, xCx_{C}, yCy_{C}
Traitement
xA+xC2→xD\frac{x_{A} +x_{C} }{2} \to x_{D}
yA+yC2→yD\frac{y_{A} +y_{C} }{2} \to y_{D}
2xD−xB→xE2x_{D} -x_{B} \to x_{E}
2yD−yB→yE2y_{D} -y_{B} \to y_{E}
Sortie
Afficher xEx_{E} ; yEy_{E}

Faire fonctionner à la main cet algorithme lorsque A(2;2)A\left(2;2 \right) ; B(6;4)B\left(6;4\right) et C(−2;6)C\left(-2;6\right). Puis tracer un repère orthonormé et placer les points AA, BB, CC et EE.

Correction
Nous appliquons l'algorithme, cela nous donne ci-dessous :
xD=xA+xC2⇔xD=−2+22⇔x_{D}=\frac{x_{A} +x_{C} }{2}\Leftrightarrow x_{D} =\frac{-2+2}{2} \Leftrightarrow
xD=0x_{D} =0

yD=yA+yC2⇔yD=6+22⇔y_{D}=\frac{y_{A} +y_{C} }{2}\Leftrightarrow y_{D} =\frac{6+2}{2} \Leftrightarrow
yD=4y_{D} =4

xE=2xD−xB⇔xE=2×0−6⇔x_{E}=2x_{D} -x_{B}\Leftrightarrow x_{E}=2\times0-6\Leftrightarrow
xE=−6x_{E} =-6

yE=2yD−yB⇔yE=2×4−4⇔y_{E}=2y_{D} -y_{B}\Leftrightarrow y_{E}=2\times4-4\Leftrightarrow
yE=4y_{E} =4

Les coordonnées du point EE sont alors E(−6;4)E\left(-6;4 \right).
Ci-dessous, nous avons placer l'ensemble des points AA, BB, CC et EE.
Question 2

Faire fonctionner à la main cet algorithme lorsque A(2;4)A\left(2;4 \right) ; B(5;2)B\left(5;2\right) et C(0;−3)C\left(0;-3\right). Puis tracer un repère orthonormé et placer les points AA, BB, CC et EE.

Correction
Nous appliquons l'algorithme, cela nous donne ci-dessous :
xD=xA+xC2⇔xD=2+02⇔x_{D}=\frac{x_{A} +x_{C} }{2}\Leftrightarrow x_{D} =\frac{2+0}{2} \Leftrightarrow
xD=1x_{D} =1

yD=yA+yC2⇔yD=4−32⇔y_{D}=\frac{y_{A} +y_{C} }{2}\Leftrightarrow y_{D} =\frac{4-3}{2} \Leftrightarrow
yD=12y_{D} =\frac{1}{2}

xE=2xD−xB⇔xE=2×1−5⇔x_{E}=2x_{D} -x_{B}\Leftrightarrow x_{E}=2\times1-5\Leftrightarrow
xE=−3x_{E} =-3

yE=2yD−yB⇔yE=2×12−2⇔y_{E}=2y_{D} -y_{B}\Leftrightarrow y_{E}=2\times\frac{1}{2}-2\Leftrightarrow
yE=−1y_{E} =-1

Les coordonnées du point EE sont alors E(−3;−1)E\left(-3;-1\right).
Ci-dessous, nous avons placer l'ensemble des points AA, BB, CC et EE.
Question 3

Quel semble être le rôle de cet algorithme?

Correction
Cet algorithme permet de déterminer les coordonnées du point EE pour que ABCEABCE soit un parallélogramme. En effet, il calcule d’abord les coordonnées du milieu DD de [AC]\left[AC\right], puis il calcule les coordonnées de EE pour que DD soit aussi le milieu de [BE]\left[BE\right].