Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Savoir calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d'un vecteur par un réel - Exercice 1

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Question 1
Soit (0;i⃗;j⃗)\left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right) un repère du plan. On considère les vecteurs suivants : u→(23)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) ; v→(5−1)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-1} \end{array}\right) et w→(−17)\overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {7} \end{array}\right)

Calculer les coordonnées du vecteur u→+v→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} .

Correction
Soient (0;i⃗;j⃗)\left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right) un repère du plan et u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}} \\ {{\color{blue}y}} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {{\color{red}x'}} \\ {{\color{red}y'}} \end{array}\right) deux vecteurs .
  • la somme v→+v→\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v} est égale à (x+x′y+y′)\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}+{\color{red}x'}} \\ {{\color{blue}y}+{\color{red}y'}} \end{array}\right)
On rappelle que : u→(23)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) ; v→(5−1)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-1} \end{array}\right) et w→(−17)\overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {7} \end{array}\right)
Ainsi :
Le vecteur u→+v→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} a pour coordonnées (2+53−1)\left(\begin{array}{c} {2+5} \\ {3-1} \end{array}\right) soit (72)\left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right)
Question 2

Calculer les coordonnées du vecteur v→+w→\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w} .

Correction
Soient (0;i⃗;j⃗)\left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right) un repère du plan et u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}} \\ {{\color{blue}y}} \end{array}\right) et v→(x′y′)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {{\color{red}x'}} \\ {{\color{red}y'}} \end{array}\right) deux vecteurs .
  • la somme v→+v→\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v} est égale à (x+x′y+y′)\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}+{\color{red}x'}} \\ {{\color{blue}y}+{\color{red}y'}} \end{array}\right)
On rappelle que : u→(23)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) ; v→(5−1)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-1} \end{array}\right) et w→(−17)\overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {7} \end{array}\right)
Ainsi :
Le vecteur v→+w→\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w} a pour coordonnées (5+(−1)−1+7)\left(\begin{array}{c} {5+\left(-1\right)} \\ {-1+7} \end{array}\right) soit (46)\left(\begin{array}{c} {4} \\ {6} \end{array}\right)
Question 3

Calculer les coordonnées du vecteur 3v→3\overrightarrow{v} .

Correction
Soient (0;i⃗;j⃗)\left(0;\vec{i} ;\vec{j} \right) un repère du plan et u→(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {{\color{blue}x}} \\ {{\color{blue}y}} \end{array}\right) et k{\color{red}k} un réel .
  • le vecteur ku→k\overrightarrow{u} est égale à (k×xk×y)\left(\begin{array}{c} {{\color{red}k}\times{\color{blue}x}} \\ {{\color{red}k}\times{\color{blue}y}} \end{array}\right)
On rappelle que : u→(23)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) ; v→(5−1)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {-1} \end{array}\right) et w→(−17)\overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {7} \end{array}\right)
Ainsi :
Le vecteur 3v→{\color{red}3}\overrightarrow{v} a pour coordonnées (3×53×(−1))\left(\begin{array}{c} {{\color{red}3}\times5} \\ {{\color{red}3}\times\left(-1\right)} \end{array}\right) soit (15−3)\left(\begin{array}{c} {15} \\ {-3} \end{array}\right)