Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires - Exercice 1

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Soient u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} deux vecteurs.
Pour chacun des cas, indiquez si les vecteurs sont colinéaires.
Question 1

u(1;2)\overrightarrow{u} \left(1;2\right) et v(2;4)\overrightarrow{v} \left(-2;4\right)

Correction
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • det(u;v)=xyxy\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé deˊterminant\text{\color{red}déterminant}.
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v(xy)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 1×42×(2)=4+4=801\times 4-2\times \left(-2\right)=4+4=8\ne 0
Nous avons donc
det(u;v)0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)\ne0

Les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.
Question 2

u(36)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-6} \end{array}\right) et v(12)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)

Correction
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • det(u;v)=xyxy\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé deˊterminant\text{\color{red}déterminant}.
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v(xy)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 3×2(6)×(1)=66=03\times 2-\left(-6\right)\times \left(-1\right)=6-6=0
Nous avons donc
det(u;v)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0

Les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont colinéaires.
Question 3

u(2;3)\overrightarrow{u} \left(2;-3\right) et v(1;1)\overrightarrow{v} \left(-1;-1\right)

Correction
Soit (0;i;j)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan.
  • Deux vecteurs u(x;y)\overrightarrow{u} \left(x;y\right) et v(x;y)\overrightarrow{v} \left(x';y'\right) sont colinéaires si et seulement si det(u;v)=0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=0 autrement dit si : xyxy=0xy'-x'y=0.
  • det(u;v)=xyxy\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)=xy'-x'y est appelé deˊterminant\text{\color{red}déterminant}.
  • On peut également écrire les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sous la forme u(xy)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et v(xy)\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right).
On a : 2×(1)(1)×(3)=23=502\times \left(-1\right)-\left(-1\right)\times \left(-3\right)=-2-3=-5\ne 0
Nous avons donc
det(u;v)0\det\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)\ne0

Les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires.