Vecteurs du plan : deuxième partie Géométrie analytique . Coordonnées des vecteurs dans une base orthonormée

Comment montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme - Exercice 1

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Question 1
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(−5;−4)A\left(-5;-4 \right) ; B(−3;4)B\left(-3;4\right) ; C(5;6)C\left(5;6\right) et D(3;−2)D\left(3;-2\right).

Faites une figure.

Correction
Question 2

Montrer que le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan et quatre points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) ; B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right) ; C(xC;yC)C\left(x_{C} ;y_{C} \right) et D(xD;yD)D\left(x_{D} ;y_{D} \right)
  • Le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. Autrement dit, il faut vérifier que deux vecteurs opposées soient égaux.
  • AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right) ainsi AB→(−3−(−5)4−(−4))\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-3-\left(-5\right)} \\ {4-\left(-4\right)} \end{array}\right) d'où :
    AB→(28)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {8} \end{array}\right)
  • DC→(xC−xDyC−yD)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{D}} \\ {y_{C}-y_{D}} \end{array}\right) ainsi DC→(5−36−(−2))\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {5-3} \\ {6-\left(-2\right)} \end{array}\right) d'où :
    DC→(28)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {8} \end{array}\right)
    • Comme AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} alors le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.