Probabilités

Loi de probabilité - Exercice 1

10 min
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On lance un dé pipé. Les probabilités d’apparition des faces vérifient : p(1)=0,1p\left(1\right)=0,1 ; p(2)=p(3)=0,15p\left(2\right)=p\left(3\right)=0,15 ; p(4)=p(5)=0,05p\left(4\right)=p\left(5\right)=0,05
On suppose que le lancer est régie par une loi de probabilité.
Question 1

Dresser la loi de probabilité du lancer de ce dé pipé. Calculer alors la probabilité p(6)p\left(6\right)

Correction
La loi de probabilité est donnée ci-dessous :
Or, nous savons que :
p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1p\left(1\right)+p\left(2\right)+p\left(3\right)+p\left(4\right)+p\left(5\right)+p\left(6\right)=1 équivaut successivement à :
0,1+0,15+0,15+0,05+0,05+p(6)=10,1+0,15+0,15+0,05+0,05+p\left(6\right)=1
p(6)=1−0,1−0,15−0,15−0,05−0,05p\left(6\right)=1-0,1-0,15-0,15-0,05-0,05
p(6)=0,5p\left(6\right)=0,5

Finalement, la loi de probabilité est :
Question 2
On note les événements :
AA : "le numéro est pair"
BB : "le numéro est strictement supérieur à 44"

Calculer P(A∪B)P\left(A\cup B\right)

Correction

Pour tous évènements AA et BB, on a :
  • P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
p(A)=p(2)+p(4)+p(6)p\left(A\right)=p\left(2\right)+p\left(4\right)+p\left(6\right)
p(A)=0,15+0,05+0,5p\left(A\right)=0,15+0,05+0,5
p(A)=0,7p\left(A\right)=0,7

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
p(B)=p(5)+p(6)p\left(B\right)=p\left(5\right)+p\left(6\right)
p(B)=0,05+0,5p\left(B\right)=0,05+0,5
p(B)=0,55p\left(B\right)=0,55

Enfin :
A∩BA\cap B correspond à choisir un numéro pair et un numéro strictement supérieur à 44. Autrement dit, cela revient à choisir le numéro 66.
Ainsi : P(A∩B)=p(6)=0,5P\left(A\cap B\right)=p\left(6\right)=0,5
Finalement :
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right) équivaut successivement à :
P(A∪B)=0,7+0,55−0,5P\left(A\cup B\right)=0,7+0,55-0,5
P(A∪B)=0,75P\left(A\cup B\right)=0,75