Fonctions affines. Tableaux de signes . Inéquations produit et Inéquations quotient

Exercices types : 33ème partie - Exercice 1

20 min
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Question 1
Une société qui souhaite commercialiser des Tee-shirts propose des frais de création à 1010 000000 euros. Ensuite, la production pour chaque Tee-shirt est de 2,52,5 euros.

Déterminer le coût de production , noté C(x)C\left(x\right) , pour xx tee-shirts.

Correction
Les frais de création sont de 1010 000000 euros et ensuite chaque Tee-shirt coûtera 2,52,5 euros.
Il en résulte donc que :
C(x)=10000+2,5xC\left(x\right)=10000+2,5x
Question 2

Chaque tee-shirt est vendu 7,57,5 euros. Calculer la recette, noté R(x)R\left(x\right) , pour xx tee-shirts vendus.

Correction
Chaque tee-shirt étant vendu 7,57,5 euros, il en résulte donc que R(x)=7,5×xR\left(x\right)=7,5\times x que l'on peut écrire également
R(x)=7,5xR\left(x\right)=7,5 x
Question 3

Calculer le bénéfice B(x)B\left(x\right) pour xx tee-shirts produits et vendus. Le bénéfice est égal à la recette moins les coûts de production.

Correction
On nous indique que le bénéfice est égal à la recette moins les coûts de production.
Cela signifie donc que :
B(x)=R(x)C(x)B\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)
B(x)=7,5x(10000+2,5x)B\left(x\right)=7,5x-\left(10000+2,5x\right) . Ici , nous n'oublions pas de changer les signes, à l'étape suivante car nous avons le signe moins devant la parenthèse.
B(x)=7,5x100002,5xB\left(x\right)=7,5x-10000-2,5x
B(x)=5x10000B\left(x\right)=5x-10000
Question 4

Déterminer le sens de variation de la fonction B(x)B\left(x\right) .

Correction
Nous savons que : B(x)=5x10000B\left(x\right)=5x-10000

Soient aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=5>0a=5>0. Il en résulte donc que la fonction x5x10000x\mapsto 5x-10000 est une fonction croissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Ici nous travaillons sur l'intervalle [0;+[\left[0;+\infty\right[ car une production de tee-shirts n'est vrai que pour des xx positifs.
Question 5

Déterminer le tableau de signe de la fonction B(x)B\left(x\right) .

Correction
1ère étape : Résoudre l'équation B(x)=0B\left(x\right)=0
B(x)=0B\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
5x10000=05x-10000=0
5x=100005x=10000
x=100005x=\frac{10000}{5}
x=2000x=2000

2ème étape : Donner le sens de variation de la fonction BB.
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
Soit x5x10000x\mapsto 5x-10000 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=5>0a=5>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 5x100005x-10000 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2000x=2000 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
3ème étape : Dresser le tableau de signe de BB.
Nous remettons ici l'information vue à la deuxième étape pour bien comprendre. Soit x5x10000x\mapsto 5x-10000 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=5>0a=5>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 5x100005x-10000 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2000x=2000 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
Question 6

A partir de combien de tee-shirts vendus que la société réalisera un bénéfice?

Correction
On réalisera un bénéficie lorsque la fonction B(x)B\left(x\right) sera positive.
Nous redonnons ci-dessous le tableau de signe de la fonction B(x)B\left(x\right) obtenue à la question 55.
A partir de 20002000 tee-shirts, la société réalise un bénéfice.