Fonctions affines. Tableaux de signes . Inéquations produit et Inéquations quotient

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

15 min
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Question 1

Tracer dans un repère les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) d'équations d:y=2x1d:y=2x-1 et d:y=x+2d':y=-x+2.

Correction
Question 2

Le point A(32;63)A\left(32;63\right) appartient-il à la droite (d)\left(d\right) ?

Correction
Le point A(32;63)A\left(32;63\right) appartient à la droite dd si et seulement si 2xA1=yA2x_{A}-1=y_{A}.
Soit :
2xA1=2×3212x_{A}-1=2\times32-1
2xA1=6412x_{A}-1=64-1
2xA1=632x_{A}-1=63
2xA1=yA2x_{A}-1=y_{A}

Finalement, le point A(32;63)A\left(32;63\right) appartient bien à la droite dd ?
Question 3

Déterminer une équation de la droite (D)\left(D\right) parallèles à (d)\left(d'\right) passant par le point B(7;10)B\left(-7;10\right).

Correction
  • Deux droites sont parallèles si et seulement si les droites ont le même coefficient directeur.
Nous savons que la droite (d)\left(d'\right) admet comme équation y=x+2y=-x+2 et le coefficient directeur vaut 1-1.
La droite (D)\left(D\right) recherchée a comme équation y=ax+by=ax+b et nous savons que (D)\left(D\right) et (d)\left(d'\right) sont parallèles. Il en résulte donc que a=1a=-1.
Ainsi : y=x+by=-x+b
Nous savons que le point B(7;10)B\left(-7;10\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que yB=xB+by_{B}=-x_{B}+b.
Il vient alors que :
10=(7)+b10=-\left(-7\right)+b équivaut successivement à :
(7)+b=10-\left(-7\right)+b=10
7+b=107+b=10
b=107b=10-7
b=3b=3

Finalement, l'expression de la droite (D)\left(D\right) parallèles à (d)\left(d'\right) passant par le point B(7;10)B\left(-7;10\right) est :
y=x+3y=-x+3
Question 4

Montrer que les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) sont sécantes, puis calculer les coordonnées de leur point d'intersection.

Correction
  • Deux droites sont parallèles si et seulement si les droites ont le même coefficient directeur.
Nous savons que les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) ont comme équations respectives d:y=2x1d:y=2x-1 et d:y=x+2d':y=-x+2.
On vérifie aisément que les droites n'ont pas le même coefficient directeur car le coefficient directeur de la droite (d)\left(d\right) vaut 22 alors que celui de la droite (d)\left(d'\right) vaut 1-1. Il nous faut donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour déterminer les cordonnées du point d'intersection entre (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right).
{y=2x1y=x+2\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2x-1} \\ {y} & {=} & {-x+2} \end{array}\right. . Nous allons remplacer le yy de la deuxième ligne par la valeur du yy de la première ligne, ce qui donne :
{y=2x12x1=x+2\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2x-1} \\ {2x-1} & {=} & {-x+2} \end{array}\right. . On obtient ainsi à la deuxième ligne une équation du premier degré que nous allons résoudre.
{y=2x12x+x=2+1\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2x-1} \\ {2x+x} & {=} & {2+1} \end{array}\right.
{y=2x13x=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2x-1} \\ {3x} & {=} & {3} \end{array}\right.
{y=2x1x=33\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2x-1} \\ {x} & {=} & {\frac{3}{3}} \end{array}\right.
{y=2x1x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2x-1} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right. . Maintenant que nous avons trouver la valeur de l'abscisse xx du point d'intersection entre les deux droites, nous remplaçons cette valeur dans la première ligne du système afin d'obtenir l'ordonnée yy.
{y=2×11x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2\times1-1} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.
{y=1x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {1} \\ {x} & {=} & {1} \end{array}\right.

Les coordonnées du point d'intersection entre les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) est le point que l'on note I(1;1)I\left(1;1\right)