Fonctions affines. Tableaux de signes . Inéquations produit et Inéquations quotient

Etude du signe d'un produit - Exercice 1

20 min
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Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :
Question 1

f(x)=(2x−6)(3x−3)f\left(x\right)=\left(2x-6\right)\left(3x-3\right)

Correction
Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • 2x−6=0⇔2x=6⇔x=62=32x-6=0\Leftrightarrow 2x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{2}=3
    Soit x↦2x−6x\mapsto 2x-6 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x−62x-6 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=3x=3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • 3x−3=0⇔3x=3⇔x=33=13x-3=0\Leftrightarrow 3x=3\Leftrightarrow x=\frac{3}{3}=1
    Soit x↦3x−3x\mapsto 3x-3 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=3>0a=3>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 3x−33x-3 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 2

    f(x)=(−3x−6)(2x−8)f\left(x\right)=\left(-3x-6\right)\left(2x-8\right)

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • −3x−6=0⇔−3x=6⇔x=6−3=−2-3x-6=0\Leftrightarrow -3x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{-3}=-2
    Soit x↦−3x−6x\mapsto -3x-6 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−3<0a=-3<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −3x−6-3x-6 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−2x=-2 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • 2x−8=0⇔2x=8⇔x=82=42x-8=0\Leftrightarrow 2x=8\Leftrightarrow x=\frac{8}{2}=4
    Soit x↦2x−8x\mapsto 2x-8 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x−82x-8 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 3

    f(x)=(−5x+7)(−x+11)f\left(x\right)=\left(-5x+7\right)\left(-x+11\right)

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • −5x+7=0⇔−5x=−7⇔x=−7−5=75-5x+7=0\Leftrightarrow -5x=-7\Leftrightarrow x=\frac{-7}{-5}=\frac{7}{5}
    Soit x↦−5x+7x\mapsto -5x+7 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−5<0a=-5<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −5x+7-5x+7 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=75x=\frac{7}{5} on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • −x+11=0⇔−x=−11⇔x=−11−1⇔x=11-x+11=0\Leftrightarrow -x=-11\Leftrightarrow x=\frac{-11}{-1} \Leftrightarrow x=11
    Soit x↦−x+11x\mapsto -x+11 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−1<0a=-1<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −x+11-x+11 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=11x=11 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 4

    f(x)=(−3x+12)(5x+1)f\left(x\right)=\left(-3x+12\right)\left(5x+1\right)

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • −3x+12=0⇔−3x=−12⇔x=−12−3=4-3x+12=0\Leftrightarrow -3x=-12\Leftrightarrow x=\frac{-12}{-3}=4
    Soit x↦−3x+12x\mapsto -3x+12 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−3<0a=-3<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −3x+12-3x+12 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • 5x+1=0⇔5x=−1⇔x=−15=−155x+1=0\Leftrightarrow 5x=-1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{5}=-\frac{1}{5}
    Soit x↦5x+1x\mapsto 5x+1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=5>0a=5>0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne 5x+15x+1 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−15x=-\frac{1}{5} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 5

    f(x)=(4x−3)(6x+12)f\left(x\right)=\left(4x-3\right)\left(6x+12\right)

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D'une part :
    • 4x−3=0⇔4x=3⇔x=344x-3=0\Leftrightarrow 4x=3\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}
    Soit x↦4x−3x\mapsto 4x-3 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=4>0a=4>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 4x−34x-3 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=34x=\frac{3}{4} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D'autre part :
    • 6x+12=0⇔6x=−12⇔x=−126=−26x+12=0\Leftrightarrow 6x=-12\Leftrightarrow x=\frac{-12}{6}=-2
    Soit x↦6x+12x\mapsto 6x+12 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=6>0a=6>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 6x+126x+12 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−2x=-2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)