Fonctions affines. Tableaux de signes . Inéquations produit et Inéquations quotient

Droites paralléles ou droites sécantes - Exercice 1

20 min
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Question 1
Soient les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) d'équations d:y=2x+1d:y=2x+1 et d:y=2x6d':y=2x-6.

Les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) sont elles parallèles?

Correction
  • Deux droites sont parallèles si et seulement si les droites ont le même coefficient directeur.
Nous savons que les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) ont comme équations respectives d:y=2x+1d:y=2x+1 et d:y=2x6d':y=2x-6.
On vérifie aisément que les droites ont le même coefficient directeur a=2a=2 donc les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) sont bien parallèles. Elles ne sont donc pas sécantes.
Question 2
Soient les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) d'équations d:y=3x4d:y=3x-4 et d:y=4x+17d':y=-4x+17.

Montrer que les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) sont sécantes, puis calculer les coordonnées de leur point d'intersection.

Correction
  • Deux droites sont parallèles si et seulement si les droites ont le même coefficient directeur.
Nous savons que les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) ont comme équations respectives d:y=3x4d:y=3x-4 et d:y=4x+17d':y=-4x+17.
On vérifie aisément que les droites n'ont pas le même coefficient directeur car le coefficient directeur de la droite (d)\left(d\right) vaut 33 alors que celui de la droite (d)\left(d'\right) vaut 4-4.
Les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) ne sont donc pas parallèles. Les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) sont alors sécantes.
Il nous faut donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour déterminer les cordonnées du point d'intersection entre (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right).
{y=3x4y=4x+17\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-4} \\ {y} & {=} & {-4x+17} \end{array}\right. . Nous allons remplacer le yy de la deuxième ligne par la valeur du yy de la première ligne, ce qui donne :
{y=3x43x4=4x+17\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-4} \\ {3x-4} & {=} & {-4x+17} \end{array}\right. . On obtient ainsi à la deuxième ligne une équation du premier degré que nous allons résoudre.
{y=3x43x+4x=17+4\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-4} \\ {3x+4x} & {=} & {17+4} \end{array}\right.
{y=3x47x=21\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-4} \\ {7x} & {=} & {21} \end{array}\right.
{y=3x4x=217\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-4} \\ {x} & {=} & {\frac{21}{7}} \end{array}\right.
{y=3x4x=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-4} \\ {x} & {=} & {3} \end{array}\right. . Maintenant que nous avons trouver la valeur de l'abscisse xx du point d'intersection entre les deux droites, nous remplaçons cette valeur dans la première ligne du système afin d'obtenir l'ordonnée yy.
{y=3×34x=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3\times3-4} \\ {x} & {=} & {3} \end{array}\right.
{y=5x=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {5} \\ {x} & {=} & {3} \end{array}\right.

Les coordonnées du point d'intersection entre les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) est le point que l'on note I(3;5)I\left(3;5\right)
Question 3
Soient les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) d'équations d:y=2x6d:y=-2x-6 et d:y=5x+22d':y=5x+22.

Montrer que les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) sont sécantes, puis calculer les coordonnées de leur point d'intersection.

Correction
  • Deux droites sont parallèles si et seulement si les droites ont le même coefficient directeur.
Nous savons que les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) ont comme équations respectives d:y=2x6d:y=-2x-6 et d:y=5x+22d':y=5x+22.
On vérifie aisément que les droites n'ont pas le même coefficient directeur car le coefficient directeur de la droite (d)\left(d\right) vaut 2-2 alors que celui de la droite (d)\left(d'\right) vaut 55.
Les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) ne sont donc pas parallèles. Les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) sont alors sécantes.
Il nous faut donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour déterminer les cordonnées du point d'intersection entre (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right).
{y=2x6y=5x+22\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2x-6} \\ {y} & {=} & {5x+22} \end{array}\right. . Nous allons remplacer le yy de la deuxième ligne par la valeur du yy de la première ligne, ce qui donne :
{y=2x62x6=5x+22\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2x-6} \\ {-2x-6} & {=} & {5x+22} \end{array}\right. . On obtient ainsi à la deuxième ligne une équation du premier degré que nous allons résoudre.
{y=2x62x5x=22+6\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2x-6} \\ {-2x-5x} & {=} & {22+6} \end{array}\right.
{y=2x67x=28\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2x-6} \\ {-7x} & {=} & {28} \end{array}\right.
{y=2x6x=287\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2x-6} \\ {x} & {=} & {\frac{28}{-7}} \end{array}\right.
{y=2x6x=4\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2x-6} \\ {x} & {=} & {-4} \end{array}\right. . Maintenant que nous avons trouver la valeur de l'abscisse xx du point d'intersection entre les deux droites, nous remplaçons cette valeur dans la première ligne du système afin d'obtenir l'ordonnée yy.
{y=2×(4)6x=4\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2\times\left(-4\right)-6} \\ {x} & {=} & {-4} \end{array}\right.
{y=2x=4\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {2} \\ {x} & {=} & {-4} \end{array}\right.

Les coordonnées du point d'intersection entre les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) est le point que l'on note I(4;2)I\left(-4;2\right)
Question 4
Soient les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) d'équations d:y=6x+2d:y=6x+2 et d:y=3x7d':y=-3x-7.

Montrer que les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) sont sécantes, puis calculer les coordonnées de leur point d'intersection.

Correction
  • Deux droites sont parallèles si et seulement si les droites ont le même coefficient directeur.
Nous savons que les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) ont comme équations respectives d:y=6x+2d:y=6x+2 et d:y=3x7d':y=-3x-7.
On vérifie aisément que les droites n'ont pas le même coefficient directeur car le coefficient directeur de la droite (d)\left(d\right) vaut 66 alors que celui de la droite (d)\left(d'\right) vaut 3-3.
Les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) ne sont donc pas parallèles. Les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) sont alors sécantes.
Il nous faut donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour déterminer les cordonnées du point d'intersection entre (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right).
{y=6x+2y=3x7\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6x+2} \\ {y} & {=} & {-3x-7} \end{array}\right. . Nous allons remplacer le yy de la deuxième ligne par la valeur du yy de la première ligne, ce qui donne :
{y=6x+26x+2=3x7\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6x+2} \\ {6x+2} & {=} & {-3x-7} \end{array}\right. . On obtient ainsi à la deuxième ligne une équation du premier degré que nous allons résoudre.
{y=6x+26x+3x=72\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6x+2} \\ {6x+3x} & {=} & {-7-2} \end{array}\right.
{y=6x+29x=9\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6x+2} \\ {9x} & {=} & {-9} \end{array}\right.
{y=6x+2x=99\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6x+2} \\ {x} & {=} & {\frac{-9}{9}} \end{array}\right.
{y=6x+2x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6x+2} \\ {x} & {=} & {-1} \end{array}\right. . Maintenant que nous avons trouver la valeur de l'abscisse xx du point d'intersection entre les deux droites, nous remplaçons cette valeur dans la première ligne du système afin d'obtenir l'ordonnée yy.
{y=6×(1)+2x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6\times\left(-1\right)+2} \\ {x} & {=} & {-1} \end{array}\right.
{y=4x=1\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-4} \\ {x} & {=} & {-1} \end{array}\right.

Les coordonnées du point d'intersection entre les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) est le point que l'on note I(1;4)I\left(-1;-4\right)
Question 5
Soient les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) d'équations d:y=3x1d:y=3x-1 et d:y=8d':y=8.

Montrer que les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) sont sécantes, puis calculer les coordonnées de leur point d'intersection.

Correction
  • Deux droites sont parallèles si et seulement si les droites ont le même coefficient directeur.
Nous savons que les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) ont comme équations respectives d:y=3x1d:y=3x-1 et d:y=8d':y=8.
On vérifie aisément que les droites n'ont pas le même coefficient directeur car le coefficient directeur de la droite (d)\left(d\right) vaut 33 alors que celui de la droite (d)\left(d'\right) vaut 00.
Les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) ne sont donc pas parallèles. Les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) sont alors sécantes.
Il nous faut donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour déterminer les cordonnées du point d'intersection entre (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right).
{y=3x1y=8\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-1} \\ {y} & {=} & {8} \end{array}\right. . Nous allons remplacer le yy de la deuxième ligne par la valeur du yy de la première ligne, ce qui donne :
{y=3x13x1=8\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-1} \\ {3x-1} & {=} & {8} \end{array}\right. . On obtient ainsi à la deuxième ligne une équation du premier degré que nous allons résoudre.
{y=3x13x=8+1\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-1} \\ {3x} & {=} & {8+1} \end{array}\right.
{y=3x13x=9\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-1} \\ {3x} & {=} & {9} \end{array}\right.
{y=3x1x=93\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-1} \\ {x} & {=} & {\frac{9}{3}} \end{array}\right.
{y=3x1x=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-1} \\ {x} & {=} & {3} \end{array}\right. . Maintenant que nous avons trouver la valeur de l'abscisse xx du point d'intersection entre les deux droites, nous remplaçons cette valeur dans la première ligne du système afin d'obtenir l'ordonnée yy.
{y=3×31x=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3\times3-1} \\ {x} & {=} & {3} \end{array}\right.
{y=8x=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {8} \\ {x} & {=} & {3} \end{array}\right.

Les coordonnées du point d'intersection entre les droites (d)\left(d\right) et (d)\left(d'\right) est le point que l'on note I(3;8)I\left(3;8\right)