Fonction polynôme du second degré : $f\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$

Tableau de variation d'une fonction polynôme du second degré - Exercice 1

12 min
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Question 1

Dresser le tableau de variation de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−6x+3f\left(x\right)=x^{2} -6x+3.

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=−6b=-6
  • c=c= nombre seul d'où c=3c=3
2ème étape : Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−(−6)2×1\alpha =\frac{-\left(-6\right)}{2\times1} d'où :
α=3\alpha =3

3ème étape : Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(3)\beta =f\left(3 \right)
β=32−6×3+3\beta =3^{2} -6\times 3+3
β=9−18+3\beta =9-18+3
β=−6\beta =-6

4ème étape : Le tableau de variation de ff.
  • Soit la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right) . Si a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut et le tableau de variation est comme suit :
Ici : a=1>0a=1>0. La parabole est tournée vers le haut. Le tableau de variation est alors donné ci-dessous :
Question 2

Dresser le tableau de variation de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−2x2+4x+8f\left(x\right)=-2x^{2} +4x+8.

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=−2a=-2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=4b=4
  • c=c= nombre seul d'où c=8c=8
2ème étape : Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−42×(−2)\alpha =\frac{-4}{2\times\left(-2\right)} d'où :
α=1\alpha =1

3ème étape : Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(1)\beta =f\left(1 \right)
β=−2×(1)2+4×1+8\beta =-2\times \left(1\right)^{2} +4\times 1+8
β=−2×1+4+8\beta =-2\times 1+4+8
β=−2+4+8\beta =-2+4+8
β=10\beta =10

4ème étape : Le tableau de variation de ff.
  • Soit la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right) . Si a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas et le tableau de variation est comme suit :
Ici : a=−2<0a=-2<0. La parabole est tournée vers le bas. Le tableau de variation est alors donné ci-dessous :
Question 3

Dresser le tableau de variation de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x2−12x+4f\left(x\right)=3x^{2} -12x+4.

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=3a=3
  • b=b= nombre devant xx d'où b=−12b=-12
  • c=c= nombre seul d'où c=4c=4
2ème étape : Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−(−12)2×3\alpha =\frac{-\left(-12\right)}{2\times3} d'où :
α=2\alpha =2

3ème étape : Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(2)\beta =f\left(2 \right)
β=3×22−12×2+4\beta =3\times 2^{2} -12\times 2+4
β=3×4−12×2+4\beta =3\times 4-12\times 2+4
β=12−24+4\beta =12-24+4
β=−8\beta =-8

4ème étape : Le tableau de variation de ff.
  • Soit la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right) . Si a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut et le tableau de variation est comme suit :
Ici : a=3>0a=3>0. La parabole est tournée vers le haut. Le tableau de variation est alors donné ci-dessous :