Fonction homographique : $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d} $

Signe d'un quotient et fonctions homographiques (inéquations) - Exercice 1

15 min
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Question 1
Résoudre les inéquations suivantes :

3x62x+140\frac{3x-6}{2x+14}\ge0

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :
  • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
  • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • 3x6=03x=6x=63=23x-6=0\Leftrightarrow 3x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{3}=2
    Soit x3x6x\mapsto 3x-6 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=3>0a=3>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 3x63x-6 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 2x+14=02x=14x=142=72x+14=0\Leftrightarrow 2x=-14\Leftrightarrow x=\frac{-14}{2}=-7 . Attention, ici x=7x=-7 est la valeur interdite.
    Soit x2x+14x\mapsto 2x+14 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x+142x+14 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=7x=-7 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=7x=-7 est une valeur interdite)
    Nous voulons résoudre l'inéquation 3x62x+140\frac{3x-6}{2x+14}\ge0. Ainsi :
    S=];7[[2;+[S=\left]-\infty ;-7\right[\cup \left[2;+\infty \right[
    . (Nous avons ouvert le crochet à 7-7 car c'est la valeur interdite.)
    Question 2

    2x83x+270\frac{2x-8}{3x+27}\le0

    Correction

    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
    • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • 2x8=02x=8x=82=42x-8=0\Leftrightarrow 2x=8\Leftrightarrow x=\frac{8}{2}=4
    Soit x2x8x\mapsto 2x-8 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x82x-8 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 3x+27=03x=27x=273=93x+27=0\Leftrightarrow 3x=-27\Leftrightarrow x=\frac{-27}{3}=-9 . Attention, ici x=9x=-9 est la valeur interdite.
    Soit x3x+27x\mapsto 3x+27 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=3>0a=3>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 3x+273x+27 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=9x=-9 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=9x=-9 est une valeur interdite)
    Nous voulons résoudre l'inéquation 2x83x+270\frac{2x-8}{3x+27}\le0. Ainsi :
    S=]9;4]S=\left]-9 ;4\right]
    . (Nous avons ouvert le crochet à 9-9 car c'est la valeur interdite.)
    Question 3

    3x+25x1<0\frac{-3x+2}{5x-1}<0

    Correction

    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
    • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • 3x+2=03x=2x=23=23-3x+2=0\Leftrightarrow -3x=-2\Leftrightarrow x=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}
    Soit x3x+2x\mapsto -3x+2 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=3<0a=-3<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne 3x+2-3x+2 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=23x=\frac{2}{3} on mettra le signe ()\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 5x1=05x=1x=155x-1=0\Leftrightarrow 5x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{5} . Attention, ici x=15x=\frac{1}{5} est la valeur interdite.
    Soit x5x1x\mapsto 5x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=5>0a=5>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 5x15x-1 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=15x=\frac{1}{5} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=15x=\frac{1}{5} est une valeur interdite)
    Nous voulons résoudre l'inéquation 3x+25x1<0\frac{-3x+2}{5x-1}<0. Ainsi :
    S=];15[]23;+[S=\left]-\infty ;\frac{1}{5}\right[\cup \left]\frac{2}{3};+\infty \right[
    .