Fonction de référence : la fonction inverse $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

Utiliser la fonction inverse pour comparer deux nombres - Exercice 1

5 min
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Sans utiliser la calculatrice, comparer les inverses des nombres suivants :
Question 1

17\frac{1}{7} et 17,1\frac{1}{7,1}

Correction
77 et 7,17,1 sont positifs et nous savons que 7<7,17<7,1.
La fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est strictement décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors 1a≥1b \frac{1}{a} {\color{blue}\ge} \frac{1}{b}
Il en résulte donc que :
17>17,1\frac{1}{7}>\frac{1}{7,1}
Question 2

−16-\frac{1}{6} et −15-\frac{1}{5}

Correction
−5-5 et −6-6 sont négatifs et nous savons que −6<−5-6<-5.
La fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est strictement décroissante sur l'intervalle ]−∞;0[\left]-\infty;0\right[
  • Deux nombres négatifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire c'est à dire si a≤b≤0 a {\color{blue}\le} b{\color{blue}\le}0 alors 1a≥1b \frac{1}{a} {\color{blue}\ge} \frac{1}{b}
Il en résulte donc que :
−16>−15-\frac{1}{6}>-\frac{1}{5}
Question 3

10,2\frac{1}{0,2} et 10,3\frac{1}{0,3}

Correction
0,20,2 et 0,30,3 sont positifs et nous savons que 0,2<0,30,2<0,3.
La fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est strictement décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors 1a≥1b \frac{1}{a} {\color{blue}\ge} \frac{1}{b}
Il en résulte donc que :
10,2>10,3\frac{1}{0,2}>\frac{1}{0,3}
Question 4

32\frac{3}{2} et 32,04\frac{3}{2,04}

Correction
22 et 2,042,04 sont positifs et nous savons que 2<2,042<2,04.
La fonction x↦1xx\mapsto \frac{1}{x} est strictement décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[
  • Deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l'ordre contraire c'est à dire si 0≤a≤b0{\color{blue}\le} a {\color{blue}\le} b alors 1a≥1b \frac{1}{a} {\color{blue}\ge} \frac{1}{b}
Il en résulte donc que :
12>12,04\frac{1}{2}>\frac{1}{2,04}
Nous multiplions les deux membres de l'inégalité par le nombre 33 qui est positif. Donc l'ordre de l'inégalité ne changera pas.
Ce qui nous donne :
32>32,04\frac{3}{2}>\frac{3}{2,04}